Регистрирайте сеРегистрирайте се

Диофантово с неизвестно в показател


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Wed Jul 15, 2009 1:48 pm    Заглавие: Диофантово с неизвестно в показател

Намерете всички двойки от положителни цели числа [tex]\left(x,y\right)[/tex], удовлетворяващи уравнението [tex]p^{x}-y^{3}=1[/tex], където [tex]p[/tex] е просто число.

Разширен списък МОМ 1986.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Wed Jul 15, 2009 1:52 pm    Заглавие:

Хипотезата на Каталан позволява ли се? Laughing Интересното е, че тогава тя още не е била доказана.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Wed Jul 15, 2009 2:13 pm    Заглавие:

Ето го и решението:
Записваме уравнението във вида:
[tex]p^x=(y+1)(y^2-y+1)[/tex]. Сега имаме системата [tex]\begin{tabular}{|l}y+1=p^a\\y^2-y+1=p^b \end{tabular}\Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}y+1=p^a(**)\\(y+1)^2-3y=p^b (*)\end{tabular} [/tex]
1случай: [tex]b=0[/tex], тогава решение е двойката [tex](1,1)[/tex]
2случай: [tex]b\in\mathbb{N}[/tex], тогава имаме [tex]p|3y[/tex], но очевидно [tex]p[/tex] не дели [tex]y[/tex], т.е [tex]p|3\Rightarrow p=3[/tex].Връщайки се в [tex](*)[/tex] получаваме:
[tex]3^{2a-1}-y=3^{b-1}[/tex]. От [tex](**)[/tex] пък се вижда, че [tex]3[/tex] не дели [tex]y[/tex], т.е [tex]b-1=0\Rightarrow b=1[/tex], откъдето пък лесно намираме [tex]y=2[/tex].
Окончателно решения са [tex](1,1),(2,2)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.