Регистрирайте се
Диофантово с неизвестно в показател
|
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Wed Jul 15, 2009 1:48 pm Заглавие: Диофантово с неизвестно в показател |
|
|
Намерете всички двойки от положителни цели числа [tex]\left(x,y\right)[/tex], удовлетворяващи уравнението [tex]p^{x}-y^{3}=1[/tex], където [tex]p[/tex] е просто число.
Разширен списък МОМ 1986. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
krainik Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009 Мнения: 697
гласове: 44
|
Пуснато на: Wed Jul 15, 2009 1:52 pm Заглавие: |
|
|
Хипотезата на Каталан позволява ли се? Интересното е, че тогава тя още не е била доказана. |
|
Върнете се в началото |
|
|
krainik Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009 Мнения: 697
гласове: 44
|
Пуснато на: Wed Jul 15, 2009 2:13 pm Заглавие: |
|
|
Ето го и решението:
Записваме уравнението във вида:
[tex]p^x=(y+1)(y^2-y+1)[/tex]. Сега имаме системата [tex]\begin{tabular}{|l}y+1=p^a\\y^2-y+1=p^b \end{tabular}\Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}y+1=p^a(**)\\(y+1)^2-3y=p^b (*)\end{tabular} [/tex]
1случай: [tex]b=0[/tex], тогава решение е двойката [tex](1,1)[/tex]
2случай: [tex]b\in\mathbb{N}[/tex], тогава имаме [tex]p|3y[/tex], но очевидно [tex]p[/tex] не дели [tex]y[/tex], т.е [tex]p|3\Rightarrow p=3[/tex].Връщайки се в [tex](*)[/tex] получаваме:
[tex]3^{2a-1}-y=3^{b-1}[/tex]. От [tex](**)[/tex] пък се вижда, че [tex]3[/tex] не дели [tex]y[/tex], т.е [tex]b-1=0\Rightarrow b=1[/tex], откъдето пък лесно намираме [tex]y=2[/tex].
Окончателно решения са [tex](1,1),(2,2)[/tex]. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|