Задача от списание Математика +

[NoThanks]

Нека [tex]a_{0}+a_{1}\cos\varphi + a_{2}\cos2\varphi \ge 0[/tex] за всяко [tex]\varphi \in [\frac{\pi}{2};\pi][/tex]Да се докаже, че [tex]a_{0}+a_{1}+a_{2} \ge 7(a_{1}-a_{0})[/tex]. Ако [tex]a_{0} \ne 0[/tex], то при какво отношение [tex]a_{0}:a_{1}:a_{2}[/tex] се достига равенство?

[Реклама]

[martin123456]

[tex]f(\varphi)=a_0+a_1\cos{\varphi}+a_2\cos{2\varphi}[/tex]
искаме да док, че [tex]a_{0}+a_{1}+a_{2} \ge 7(a_{1}-a_{0})[/tex] <=> [tex]8a_0-6a_1+a_2 \geq 0[/tex]. ето защо се замисляме дали има [tex]\varphi_{0}[/tex], че [tex]\cos\varphi_{0}=-\frac{3}{4}[/tex] и [tex]\cos{2\varphi_0}=\frac{1}{8}[/tex]. От формулата за [tex]\cos{2x}=2\cos^2{x}-1[/tex] следва че има.
значи трябва да док, че [tex]8f(\varphi_{0})=8a_0-6a_1+a_2 \geq 0[/tex]. но това е вярно понеже [tex]\varphi_{0} \in [\frac{\pi}{2},\pi][/tex], а там по усл [tex]f(\varphi) \geq 0[/tex].

равенството е затруднително - сигурно с изследване на функция

[_sssss]

Това ни е квадратна функция.
[tex]\normal 2a_2 t^2 + a_1 t + a_0 - a_2 \ge 0[/tex]
За равенството имаме, че [tex]\normal t=-\frac{3}{4}[/tex] е корен. Но от условието, че е изцяло над оста x за [-1;0] това трябва да е и единствен корен.
[tex] \normal -\frac{b}{2a}=-\frac{a_1}{4a_2}=-\frac{3}{4}[/tex] и [tex]\normal a_2 \ne 0[/tex]
[tex]\normal 8a_0 -6a_1+a_2=0[/tex]
Изразяваме наред с [tex]\normal a_2[/tex], например.
[tex]\normal \frac{17}{8}:3:1[/tex]