Примерна тема - СУ

[DevilFighter]

1зад. Да се докаже,че 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * .........*99/100 < 1/10
2.зад.


Отговор: ( 10ⁿ⁺¹ - 9n - 10 ) / 81

Първата задача е от новия брой на списание Математика(1 брой 2007г.)

[Реклама]

[FedUp]

За втората задача:

Всяко число се представя като
1 = 1
11 = 1 + 10
111 = 1 + 10 + 100
...
11...11 = 1 + 10 + ... + 10^n-1

Прилагаме формулата за сбор на геометрична прогресия S_n=b₁.(qⁿ - 1)/(q - 1) за всяко , като b₁=1 , q=10 и n е съответният брой числа.

S₁ = (10 - 1) / 9
S₂ = (10² - 1) / 9
S₃ = (10³ - 1) / 9
...
S_n = (10ⁿ - 1) / 9

Събираме всичко:

S = 1/9 . (10 + 10² + 10³ + ... + 10ⁿ - n.1)

Пак прилагаме формулата:

S = 1/9 . { [(10ⁿ⁺¹ - 10) / 9] - n } = 1/9 . [(10ⁿ⁺¹ - 10 - 9n)] / 9 = 1/81 . (10ⁿ⁺¹ - 10 - 9n)

Първата малко ме мързи да я решавам, ама предполагам, че нещо подобно ще се използва. В числител е произведение на всичките нечетни числа до 99, а в знаменател - на четните, така че...

[DevilFighter]

Малееее благодаря ти много.И аз бях отркил на 2та задача някаква прогресия и се въртях супер много.Намерих даже общия член на редицата ама така и не се сетих за тази сума.Благодаря още веднъж,решението ти е много ясно и точно.А тази 1ва задача ми я каза една моя съученичка и тя била дала тази задача на много хора и никой не можел да я реши, и мен ме затрудни също.Та ако имаш идеи споделяй.

[ianikia]

1 зад. Докажи най-напред по-общото и по-силно неравенство:

Използвай метод на математическата индукция

[DevilFighter]

А това как да го докажа.Нещо и тук зациклих.
Виждаме,че твърдението е вярно при n=1 ,n=2 и т.н.

при n=k =>
(1/2)*(3/4)*(5/6)*.....*(2k-1)/2k ≤ 1/ [√(3k+1)]

при n = k + 1
(1/2)*(3/4)*(5/6)*.....*(2k-1)/2k *[2(k+1) - 1]/2(k+1) ≤ 1/ [√( 3(k+1) + 1 )]

И сега как да докажа това по долу :

1/ [√(3k+1)] * [2(k+1) - 1]/2(k+1) ≤ 1/ [√( 3(k+1) + 1 )]

Също така като се докаже това как после ще докажа,че
1/ [√(3n+1)] < 1/10

[ianikia]

Тъй като двете страни на неравенството са положителни, можем да повдигнем на квадрат и ще се получи еквивалентното неравенство:
(2k+1)²/((2k+2)²(3k+1))≤1/(3k+4)
А то пък е еквивалентно (след привеждане под общ знаменател) на:
(2k+1))²(3k+4)≤(2k+2))²(3k+1), което можем да докажем след разкриване на скобите.
В нашия случай n=50 и имаме 1/√151<1/12<1/10

[DevilFighter]

И аз го доказах това,но при n=50 , 1/[√(3n+4)] не е равно на 1/12.Получава се 1/√154 .

Има и още 1 начин за решаване на задачата.Представяме си 1/10 = 1/√100 и знаем,че 1/√100 > 1/√101 , a 1/√101 = 1/√(2n+1)
и трябва да докажем следното:
(1/2)*(3/4)*(5/6)*......* (2n-1)/2n < 1/√(2n+1)

[ianikia]

В нерав., което доказахме: (1/2)*(3/5)*...*(2n-1)/(2n)≤1/√(3n+1) заместваме n с 50 и вдясно получаваме 1/√151. И тъй като √151>√144=12>10, то 1/√151<1/12<1/10
И другият начин става. Дори човек по-лесно би се сетил за това представяне.

[DevilFighter]

Иначе благодаря ти много.Доста ми помогна.

Ето още една задача пак от Примерна тема СУ:
Дадено е x⁷ + y⁷ + z⁷ - 7xyz(x⁵ + y⁵ + z⁵ )
Да се докаже,че се дели на ( x + y + z ).

П.П.Тези доценти от СУ много трудни задачи мислят.

[uktc]

Мислят ги те друг път... Повечето са от руски сборници. Много малко авторски задачи се дават на КС изпити.

[DevilFighter]

Никой ли няма идеи как ще стане тази задача ...