Регистрирайте сеРегистрирайте се

ФРГ 1982


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Tue Jul 14, 2009 4:44 pm    Заглавие: ФРГ 1982

Нека [tex]\mathbb{A}=\{1,2,...,2n+1\}[/tex] и нека [tex]B\subset A[/tex] e такова множество, че не съществуват [tex]x,y,z\in B[/tex], такива че [tex]x+y=z[/tex]. Да се намери [tex]max|B|(|B|\equiv #B[/tex]).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Wed Jul 15, 2009 12:23 pm    Заглавие:

Очевидно може да имаме [tex]\|B\|=n+1[/tex] - взимаме [tex]B=\{1,3,\ldots,2n+1\}[/tex].
Сега ще докажем, че [tex]\|B\|=n+2[/tex] е невъзможно!
Нека [tex]a[/tex] е най-големият елемент на [tex]B[/tex]. Образуваме всички разлики на [tex]a[/tex], с другите елементи от [tex]B[/tex]. Получаваме общо [tex]n+1[/tex] различни числа. Но знаем, че числата вън от [tex]B[/tex] са [tex]n-1[/tex]. Тези [tex]n-1[/tex] ще покриват [tex]n-1[/tex] числа от получените [tex]n+1[/tex] разлики. Остават две непокрити числа и значи те ще са в множеството [tex]B[/tex]. Но тези две разлики, които ще са в множеството [tex]B[/tex] са разлики на числа от същото множество. Ако [tex]a[/tex] е четно една от тези разлики ще е [tex]a-\frac{a}{2}[/tex]. Другата разлика обаче ще е от вида [tex]a-b[/tex], където [tex]b\in B[/tex] и [tex]b\ne \frac{a}{2}[/tex]. Значи в [tex]B[/tex] ще имаме три различни числа [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]a-b[/tex], като очевидно сбора на [tex]b[/tex] и [tex]a-b[/tex] дава [tex]a[/tex], което е противоречие със свойствата на множеството [tex]B[/tex]. Когато [tex]a[/tex] е нечетно нещата са аналогични като нямаме проблема с [tex]a-\frac{a}{2}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.