Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство с n променливи


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat Jul 11, 2009 4:17 pm    Заглавие: Неравенство с n променливи

Ако [tex]x_1,x_2,\ldots,x_n[/tex] са положителни реални числа, [tex]k,m\in\mathbb{N}[/tex], [tex]k\ge m[/tex], то докажете, че [tex]\frac{x_1^k}{x_2^k}+\frac{x_2^k}{x_3^k}+\cdots+\frac{x_n^k}{x_1^k}\ge \frac{x_1^m}{x_2^m}+\frac{x_2^m}{x_3^m}+\cdots+\frac{x_n^m}{x_1^m}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jul 31, 2009 6:02 pm    Заглавие:

Чудех се дали да пиша решение, но...:
Полагаме [tex]a_{i}=\frac{x_{i}}{x_{i+1}}[/tex]. Индексите са взети по модул [tex]n[/tex], т.е [tex]n+1=1[/tex]. Забелязваме, че [tex]a_{1}.a_{2}...a_{n}=1[/tex]. Полагаме [tex]k-m=s[/tex]. Неравенството придобива вида [tex]\sum_{i=1}^n a_{i}^k \ge \sum_{i=1}^n a_{i}^m[/tex]. Умножаваме дясната страна с [tex]\sqrt[n]{(a_{1}...a_{n})^s}[/tex]. Сега твърдението следва от факта, че [tex](k,0,0,...,0) \succ (m+\frac{s}{n},\frac{s}{n},...,\frac{s}{n})[/tex]. Разбира се, ако бъдем педантични, трябва да умножим предварително двете страни по [tex](n-1)[/tex]. Равенство се достига при [tex]k=m[/tex] или при равни [tex]a_{i}[/tex]-та, т.е при равни [tex]x_{i}[/tex]-та.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Aug 04, 2009 3:38 pm    Заглавие:

Хайде стига с този Мюрхед. Намерете доказателство без него.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Tue Aug 04, 2009 8:22 pm    Заглавие:

Е, разбира се, че има и решение със СА-СГ, но, според мен, е безсмислено, освен ако не покажеш и др решение. Иначе ето го и доказателството със СА–СГ:
Използвам същите означения като горния пост. От СА-СГ за тегла имаме:
[tex](mn+s)a_{i}+s.(a_{i+1}+a_{i+2}+\cdots + a_{i+n-1})\ge (mn+a+(n-1).s)a_{i}^{m+\frac{s}{n}}.a_{i+1}^{\frac{s}{n}}\cdots a_{i+n-1}^{\frac{s}{n}}[/tex], като индексите отново са сумирани по модул [tex]n[/tex].Събираме всичките н-ва при [tex]i=1,\cdots,n[/tex], откъдето си и следва н-вото. Това, разбира се, е еквивалентно на ползването на Мюрхед, но е по-дълго и съответни по-грозно. Чакаме да ни покажем и твоето доказателство.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.