Полином, уравнение

[jumbo_gaba]

Нека [tex]P(x)=x^n-a_1x^{n-1}-a_2x^{n-2}-\cdots-a_n[/tex], като числата [tex]a_1,a_2,\cdots a_n[/tex] са положителни. Докажете, че уравнението [tex]P(x)=0[/tex] има само един положителен корен.
Тази задачка ми се опъва. Ако може кажете как се решава.

[Реклама]

[martin.nikolov]

Старшият коефициент е положителен, останалите са отрицателни. Трябва да се докаже, че полиноми от този вид имат точно един положителен корен. Че имат един е ясно, в нулта стойноста е отрицателна и когато хикс клони към безкрайност полинома клони към плюс безкрайност. Да се докаже че е само един може по индукция относно степента. За полиноми от степен 1 е ясно, че имат точно един коерен. За тези от степен n, намираме производната, тя е от по-малка степен и е полином от същия вид. Със положителен старши коефициен и отрицателни останалите. От индукционото допускане той има точно един положителен корен. Следователно полинома има точно един екстремум. Не може да е максимум защото полинома клони към плюс безкрайност. Не може да е минимум защото в нулта полинома има отрицателна стойност. Следователно е седловидна точка, което означва, че полинома си остава разстящ. И следователно има само един положителен корен.