Сума от точни квадрати

[krainik]

Да се докаже, че ако едно естествено число може да се престави като сума от 2 точни квадрата на цели числа, то всяка негова степен също има това свойство.

[Реклама]

[rashi101]

Ами за нечетните е наистина страшно лесно :
[tex]k=a^2+b^2[/tex]
[tex]k^{2n+1}=k^{2n}k=k^{2n}(a^2+b^2)=k^{2n}a^2 + k^{2n}b^2=(k^na)^2 + (k^nb)^2[/tex]
За четните не се сещам сега , освен ако, както вече пишеше в другата тема, не приемем 0 за естествено число...

[krainik]

Обаче както и да го гледаш 0-та е цяло

[rashi101]

[ганка симеонова]

за четни: [tex]k=a^2+b^2=>k^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=A^2+B^2 [/tex]
Следвайки тази схема, значи че и всяка четна степен може да се представи като сбор на два точни квадрата.

[krainik]

[ганка симеонова]

Нека [tex]k=a^2+b^2; l=d^2+e^2=>kl=a^2d^2+a^2e^2+b^2d^2+b^2e^2=(ad+be)^2+(ae-bd)^2 [/tex]

[martin.nikolov]

[tex](a^2+b^2)(d^2+e^2)=(ad+be)^2+(ae-bd)^2 [/tex]

Това разбира се е абсолютно вярно и е ключа към въпроса. И всеки може да го провери. Но като го покаже човек това на някой който го вижа за пръв път, обикновено последва въпроса как се сещаш. Един отговор е добре известния 'бил съм умен сетил съм се'. Но за много хора е неудоволетворителен. Аз лично намирам обесението с комплексни числа за по задоволително, един вид става ясно защо е вярно горното и как да си го изведе човек без да трябва да го помни. Разбира се трябва да се знае какво са комплексните числа.

[rashi101]

Комплексни числа? Защо? Като може просто да направиш така:
[tex](a^2 + b^2)(d^2 + e^2) = (ad)^2 + 2adbe + (be)^2 + (ae)^2 - 2aebd + (bd)^2 = (ad+ be)^2 + (ae - bd)^2[/tex]