Регистрирайте сеРегистрирайте се

Геометрични задачи, давани във ВУЗ [2]


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
merili
Начинаещ


Регистриран на: 02 Jan 2009
Мнения: 77
Местожителство: Стара Загора
Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jul 06, 2009 2:36 pm    Заглавие: Геометрични задачи, давани във ВУЗ [2]

Задача 1. В остроъгълния триъгълник ABC са построени височините AH и CP. Ивестно е, че [tex] S_{ABC}=16; S_{APHC}=12 [/tex] и радиусът на описаната около триъгълник PBH окръжност е [tex] \frac{4}{\sqrt{3} } [/tex]. Намерете:
а) големината на [tex] \angle ABC [/tex];
б) дължината на страната AC.

Отг.: а) [tex] 60^\circ [/tex] б) 8

Задача 2. В триъгълник ABC отсечките AM и BN са медиани, а G е пресечната им точка.
а) Ако радиусите на описаните окръжности около триъгълник AGN и триъгълник BGM са равни, да се докаже, че триъгълник ABC е равнобедрен.
б) Да се намери радиусът r на вписаната окръжност в четириъгълника CNGM, ако триъгълник ABC е равнобедрен с AB=a; AC=BC=[tex] \frac{13}{10 } [/tex] a

Отг.: б) [tex] \frac{13-\sqrt{41} }{ 32}a [/tex]

Задача 3. Даден е трапецът ABCD с основи AB и CD и бедра AD и BC, при което AB=3 и CD=1. Точката M е от бедрото BC и М [tex]\ne [/tex] C. През точките D и М е прекарана права, която пресича диагонала AC в точка P и продължението на основата AB - в точка Q. Нека [tex]\frac{AC}{ PC}=\lambda [/tex].
а) Докажете, че [tex] \lambda \ge 3[/tex] и [tex] BQ=\lambda -3 [/tex].
б) Докажете, че [tex] \frac{S_{PMC}}{S_{ABC} }=\frac{1}{ (\lambda +1)(\lambda -2)} [/tex]
в) Намерете за кои стойности на [tex]\lambda [/tex] е изпълнено [tex] \frac{S_{PMC}}{ S_{BQM}} =\frac{1}{3 } [/tex]

Отг.: в) [tex] \frac{5+\sqrt{13} }{ 2} [/tex]

Задача 4. Даден е триъгълник ABC със страна AB=3, [tex]\angle BAC=\alpha [/tex] и [tex] \angle ACB=120^\circ [/tex]. В триъгълника са разположени две окръжности с равни радиуси, всяка от които има следното свойство: допира се до страната AB, допира се до точно една от останалите две страни на триъгълника и се допира до другата окръжност.
а) Да се докаже, че радиусът на двете окръжности е [tex] r=\frac{3}{2+cotg\frac{\alpha }{2 }+cotg(\frac{\pi }{ 6}-\frac{\alpha }{2 }) } [/tex]
б) При каква стойност на [tex]\alpha [/tex] радиусът на двете окръжности е най-голям и да се намерят страните на триъгълник ABC, за които този радиус е най-голям.

Отг.:
б) [tex] \alpha =\frac{\pi }{ 6}; AC=BC=\sqrt{3}[/tex]

Задача 5. В окръжност k с център O и радиус [tex] R=\frac{19\sqrt{3} }{ 3} [/tex] е вписан четириъгълник ABCD със страна AD=21. Центърът J на вписаната в триъгълник ACD окръжност лежи на BD и точките A, C, O и J лежат на една окръжност.
а) Да се докаже, че [tex]\angle CDA=60^\circ [/tex]
б) Да се намерят страните и лицето на четириъгълника ABCD

Отг.: б) [tex] AB=BC=\frac{19\sqrt{3} }{ 3} , CD=5 [/tex] или [tex] CD=16, S=\frac{1369}{ 12}\sqrt{3}[/tex] или [tex] S=\frac{169}{ 3}\sqrt{3}[/tex]

Задача 6. Даден е трапецът ABCD. Основата CD=6 е диаметър на окръжност, която пресича отсечката AB в точки P и Q (P е между A и Q), така че AP:PQ:QB=1:2:2. Ако CQ и AD са успоредни, да се пресметнат:
а) страните на трапеца ABCD;
б) радиусът на описаната около триъгълник PBC окръжност

Отг.:
а) [tex] AB=10, BC=\sqrt{14}, AD=\sqrt{6} [/tex] б) [tex] \sqrt{21}[/tex]

Задача 7. В триъгълник ABC медианата АМ, ъглополовящата BL и височината CH се пресичат в точка T. Дадени са BC=2 и [tex]\angle ABC=\beta [/tex]
а) Да се изрази AB чрез [tex]\beta [/tex]
б) Да се докаже, че HL||BC и да се определи HL

Отг.: а) [tex] \frac{2cos\beta }{1-cos\beta } [/tex] б) [tex] 2cos\beta [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Mon Jul 06, 2009 4:17 pm    Заглавие:

7)Ползвам стандартните означения за страните на триъгълника.
От теоремата на Чева=> [tex]\frac{AH}{HB }.\frac{BM}{ MC}.\frac{CL}{LA }=1=>\frac{AH}{ HB}=\frac{LA}{ CL}=\frac{c}{2 } [/tex] (последното отношение идва от свойството на ъглополовящата)
От равенството на първите две отношения, следвайки теоремата на Талес=> [tex]LH//CB [/tex]
[tex]\Delta BHC=>HB=2cos\beta [/tex]
[tex]\frac{AH}{ HB}=\frac{c}{2 }=>\frac{c-HB}{ HB} =\frac{c}{2 }=>c=\frac{2cos\beta }{ 1-cos\beta } [/tex]
От подобието на [tex]\Delta AHL; \Delta ABC=>\frac{HL}{CB } =\frac{AH}{AB } =>HL=2cos\beta [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
merili
Начинаещ


Регистриран на: 02 Jan 2009
Мнения: 77
Местожителство: Стара Загора
Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Tue Jul 07, 2009 11:03 am    Заглавие:

Благодаря много Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.