Регистрирайте сеРегистрирайте се

Още едно неравенство


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sun Jul 05, 2009 10:00 pm    Заглавие: Още едно неравенство

Реалните положителни числа x, y, z изпълняват условието

[tex]\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} = 1[/tex]. Да се докаже, че

[tex]x+y+z\ge \frac{6}{\sqrt[3]{xyz} -1 } [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jul 06, 2009 10:03 am    Заглавие:

Нека [tex]x=\frac{1-a}{a} [/tex], [tex]y=\frac{1-b}{b} [/tex] и [tex]z=\frac{1-c}{c} [/tex]. Тогава [tex]a+b+c=1[/tex] и неравенството е еквивалентно (след освобождаване от знаменател) на [tex]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\sqrt[3]{\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}{abc}}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 3+3\sqrt[3]{\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}{abc}} [/tex]. Но от СА-СГ [tex]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3\ge 3\sqrt[3]{\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}{abc}} [/tex]. Значи трябва да докажем, че [tex]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\sqrt[3]{\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}{abc}}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 3+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge 8abc[/tex], което е директно от СА-СГ. Равенство при [tex]x=y=z=2[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.