Геометрични задачи, давани във ВУЗ [1]

[merili]

Задача 1. В триъгълник ABC ъглополовящите [tex] AA_{1} (A_{1} \in BC)[/tex] и [tex] BB_{1}(BB_{1}\in AC) [/tex] се пресичат в точката I и около четириъгълника [tex] CA_{1}IB_{1} [/tex] може да се опише окръжност. Лицето на този четириъгълник е равно на [tex] 27\sqrt{3} [/tex], а радиусът на описаната окръжност има дължина [tex] 2\sqrt{7} [/tex]. Да се намерят дължините на страните на:
а) четириъгълника [tex] CA_{1}IB_{1} [/tex];
б) триъгълника ABC.

Отг.: а) [tex] 2\sqrt{7} ; 2\sqrt{7};8 ;10 [/tex] б) 15; 24; 21

Задача 2. Трапецът ABCD е описан около окръжност с център O, като [tex] OA=2\sqrt{2}, OB=2\sqrt{5} [/tex] и [tex] OC=\sqrt{5}[/tex]
а) Да се намерят дължините на страните на трапеца ABCD;
б) Да се намери лицето на четириъгълника EFGN, където E, F, G и H са центровете на окръжностите, описани съответно около триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB.

Отг.: а) AB=6; BC=5; CD=3; AD=4 б) [tex]\frac{81}{ 32}[/tex]

Задача 3. В трапеца ABCD (AB||CD) диагоналите му AC и BD се пресичат в точка O, така че [tex]\angle BOC=60^\circ [/tex]. Средната отсечка на трапеца е [tex]\frac{7}{ 2}[/tex], а височината му е [tex]\frac{15\sqrt{3} }{ 14} [/tex]. Намерете дължините на диагоналите на трапеца.

Отг.: 3; 5.

Задача 4. В окръжност с център O и радиус [tex] R=\sqrt{130} [/tex] е вписан трапец ABCD с основа AB=18 и височина h=4.
а) Да се намери лицето на трапеца.
б) Окръжността, описана около триъгълник OBC, пресича отсечката AB в т. P. Да се намери отношението AP:PB.

Отг.: а) 48 или 80 б) 26:19

Задача 5. Даден е успоредник ABCD (AB>BC) с диагонали [tex] AC=2\sqrt{5}, BD=2\sqrt{2} [/tex] и лице S=6. Окръжност минава през точките A и B и се допира до правата CD. Да се намерят дължините на страните на успоредника и на реадиуса на окръжността.

Отг.: AB=3; BC=[tex] \sqrt{5} ; R=\frac{25}{ 16} [/tex].

[Реклама]

[_sssss]

Задача 5.
[tex]\normal AC \times BD=\varphi<90^\circ[/tex]

[tex]\normal AC \cdot BD \cdot 0.5 \cdot sin\varphi=6[/tex]
[tex]\normal sin\varphi=\frac{3}{\sqrt{10}}, \; cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}[/tex]

cosT ▲BOC [tex]\normal \Rightarrow BC^2 = \frac{AC^2}{4} + \frac{BD^2}{4} - 2\frac{AC \cdot BD}{4\sqrt{10}}=\sqrt{5}[/tex]

cosT ▲ABO [tex]\normal \Rightarrow BC^2 = \frac{AC^2}{4} + \frac{BD^2}{4} + 2\frac{AC \cdot BD}{4\sqrt{10}}=3[/tex]

[tex]\normal d\perp CD, \; CD||AB \Rightarrow d\perp AB \Rightarrow [/tex] т.T лежи на симетралата на AB и ▲ABT е равнобедрен.

[tex]\normal tgABT=\frac{8}{3}\rightarrow sinABT=\frac{8}{\sqrt{73}}[/tex]

[tex]\normal 4 \cdot 3 = 3 \cdot sin \cdot BT \Rightarrow BT=AT=\frac{\sqrt{73}}{2}[/tex]

sinT [tex]\normal \Rightarrow R=\frac{\sqrt{73}}{32}[/tex]

Някъде омазах нещо!

[merili]

малко си объркал сметките
[tex] tg\angle ABT = \frac{4}{3 } [/tex]
[tex] sin\angle ABT=\frac{4}{ 5} [/tex]
[tex] BT=AT=\frac{5}{2 } [/tex]
и отговорът излиза

[_sssss]

Дам, височината на успоредника не е 4, а 2. Объркала съм формулата за лице.