Регистрирайте сеРегистрирайте се

Нетрудно неравенство от Китай


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat Jul 04, 2009 10:51 pm    Заглавие: Нетрудно неравенство от Китай

Ако [tex]a,b,c>0[/tex] и [tex]a+b+c=1[/tex], то докажете, че [tex]10\left(a^3+b^3+c^3\right)-9\left(a^5+b^5+c^5 \right) \ge 1[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Sun Jul 05, 2009 8:14 am    Заглавие:

Според мен трябва [tex]a,b,c\ge 0[/tex], за да има равенство.Ето го и решението ми (толкова е просто, че чак се съмнявам). Ясно е, че [tex]a,b,c\in[0,1](*)[/tex]. Понеже [tex]10-9=1[/tex], то е достатъчно да докажем, че [tex]a^3+b^3+c^3\ge a^5+b^5+c^5\Leftrightarrow a^3(1-a^2)+b^3(1-b^2)+c^3(1-c^2)\ge0[/tex], което очевидно е изпълнено заради [tex](*)[/tex]. Равенство се достига при 2 нули и 1.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sun Jul 05, 2009 4:45 pm    Заглавие:

krainik написа:
Понеже [tex]10-9=1[/tex], то е достатъчно да докажем, че [tex]a^3+b^3+c^3\ge a^5+b^5+c^5[/tex]
Всъщност не е достатъчно. Оттук би следвало [tex]10\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge 10\left(a^5+b^5+c^5\right)[/tex]. Значи ще трябва да докажем, че [tex]10\left(a^5+b^5+c^5\right)\ge 9\left(a^5+b^5+c^5\right)+1[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]a^5+b^5+c^5\ge 1[/tex]. Последното очевидно не е вярно. Вземи например [tex]a=\frac{1}{3} [/tex], [tex]b=\frac{1}{5} [/tex] и [tex]c=\frac{7}{15} [/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Sun Jul 05, 2009 5:35 pm    Заглавие:

Да, прав си. Бях помислил, че е вярно следното(почти очевидно!, но все пак грешно) твърдение.
[tex]ax-by\ge a-b[/tex], ако [tex]a,b,x,y>0[/tex] и [tex]a>b,x>y[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Nov 17, 2009 1:55 pm    Заглавие: Re: Нетрудно неравенство от Китай

MM написа:
Ако [tex]a,b,c>0[/tex] и [tex]a+b+c=1[/tex], то докажете, че [tex]10\left(a^3+b^3+c^3\right)-9\left(a^5+b^5+c^5 \right) \ge 1[/tex].


Незнам какво имаш впредвид под "нетрудно", но в никакъв случай не може да се каже, че е лесно. Може би затова никой не го е решил. Изисква техника.

Представям неравенството в следният вид, като имам впредвид, че [tex]a+b+c=1[/tex], и като се стремя да унищожа петите степени:

[tex]10(a^3+b^3+c)(a+b+c)^2-9(a^5+b^5+c^5)-(a+b+c)^5\ge 0[/tex].

След като разкрия скобите и извърша всичките досадни действия без грешка получавам:

[tex]15 a^4 b + 15 ab^4 + 15 a^4c - 30 a^2 b^2 c + 15 b^4c - 30 a^2 bc^2 - 30 a b^2 c^2 + 15a c^4 + 15 b c^4\ge 0 [/tex], което записано по друг начин е:

[tex]\sum_{sym}^{ }a^4b^1c^0 \ge \sum_{sym}^{ } a^2b^2c[/tex], което си е Muirhead's inequality: http://en.wikipedia.org/wiki/Muirhead%27s_inequality, понеже сборът на степените е равен от двете страни но от ляво има множител с по-висока степен.

А какво е твоето решение, ММ?


Последната промяна е направена от dim на Tue Nov 17, 2009 10:12 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Tue Nov 17, 2009 10:03 pm    Заглавие:

Аз ли греша нещо, или 4+1=2+2+2 ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Nov 17, 2009 10:14 pm    Заглавие:

Грешка при писането. Сложил съм една степен в повече. Оправих го вече. Така вече еквивалентно на горният ред, който е верен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.