Няколко кандидатстудентски.

[NetGh0st]

1.
Да се докаже, че изразът 2(x⁷+y⁷+z⁷) - 7xyz(x⁴+y⁴+z⁴) се дели на x+y+z.

2.
Да се докаже, че
[tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{ 4}.\frac{5}{6 }....\frac{99}{100 } < \frac{1}{10} [/tex]

3. Даден е триъгълник ABC - остроъгълен. Едната височина е равна на 3, другата на [tex]2\sqrt{2} [/tex], а третата се разделя от ортоцентъра на триъгълника в съотношение 5 към 1, считано от върха. Да се намери лицето на ABC.

4.Даден е правоъгълен паралелепипед ABCD₁B₁C₁D₁. Равнина през диагонала BD₁ пресича околните ръбове AA₁ и CC₁ в точките M и N, така че MN=[tex]2\sqrt{3}[/tex], сключва с BD₁ ъгъл между тях 30 градуса, и лицето на полученото сечение е най-малко. Да се намери косинуса на ъгъла, който равнината на сечението сключва с равнината на основата.

[Реклама]

[NoThanks]

Всичките са от броеве на сп Математика отпреди 2-3 години
Иначе на 1вата авторското решение ползва полагане x+y+z=0 и после доказваме, че полинома е = 0 при взетите ст-ти. Аз я бях мъчил с разни "по-нормални" методи, ама не става.
2ра съм я срещал с различни числа в поне 5-6 различни сборника и броя на списание на Математика през годините Иначе май за 1ви път е давана на националния кръг на олимпиадата някога през 70-те С тези ст-ти е решавана във форума - потърси
3та е стандартна - просто ползвай основните задачи, че [tex]CH=2Rcos\gamma \; AH=2Rcos\alpha \; BH = 2Rcos\beta[/tex] а също и, че [tex]\frac{CH}{HC_{1}} = tg\alpha tg\beta -1 \; \frac{AH}{HA_{1}} = tg\beta tg\gamma - 1 \; \frac{BH}{HB_{1}} = tg\alpha tg\gamma - 1[/tex] и нещата се получават.