УАСГ 2005 3-та задача

[galliardo]

Не мога да се справя с тази задача, който може да помогне.

[Реклама]

[merili]

относно а)

Постр. VH-височина в триъгълник BCV.
т.H-среда на BC
=> [tex] \angle[/tex] OHV е ъгълът между (ABC) и (BCH)
Постр. HL-ъглоп. в триъг. OHC.
Знаем, че центърът на вписаната в пирамида сфера е пресечната точка на ъглополовящите равнини на двустенните ъгли
=>
т. L - център на вписаната сфера.
от св-вото на ъглополовящата =>
[tex] \frac{OL}{ LV} =\frac{OH}{ VH} [/tex]
[tex]OH=\frac{1}{2 }AB = a\sqrt{2} [/tex]
[tex]VH=a\sqrt{3}[/tex] =>
[tex]OL=\sqrt{2}x, LV=\sqrt{3}x [/tex]
Нека [tex]O_{1} [/tex]е център на [tex] A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} [/tex]
[tex] LO_{1}=LO [/tex]- радиусът на сферата.
=> [tex] VO_{1}=(\sqrt{3}-\sqrt{2} )x [/tex]
[tex] VO=a=(\sqrt{3}+\sqrt{2})x [/tex]
Нека [tex] VH \cap B_{1}C_{1}=[/tex] т. [tex] H_{1} [/tex]
озн. [tex] O_{1}H_{1}=b [/tex]
OHV [tex] \approx O_{1}H_{1}V [/tex]=>
[tex] \frac{OH}{ O_{1}H_{1}} =\frac{OV}{O_{1}V_{1} }[/tex] =>
[tex] \frac{a\sqrt{2} }{ b} =\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})x }{ (\sqrt{3}-\sqrt{2})x } [/tex]
=>
[tex] b=a(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})[/tex]
[tex] A_{1}B_{1}=2b [/tex]
[tex] S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=A_{1}B_{1}^{2} [/tex]

[galliardo]

Значи, не успях да разбера твоето предложение за а) , но аз в крайна сметка получих [tex]\frac{9a^2}{32 }[/tex] интересуват ме главно решенията на б) и в) .

[Mr.Moonlight]

аз получавам
а) [tex]\frac{a^2}{8}[/tex]
б) [tex]\frac{4\sqrt{65}}{65}[/tex]
в) [tex]\frac{a\sqrt{34}}{17}[/tex]

[M_Velinova]

Прилагам чертеж, на който се виждат използваните за б) [tex]\Delta QOP[/tex] и за в) пирамидата [tex]MABD_1[/tex]
Отговорите, които получих са:
а)[tex]\frac{a^2}{ 8}[/tex]
б)[tex]\frac{2\sqrt{5} }{5 } [/tex]
в)[tex]\frac{2a}{ 7} [/tex]

[galliardo]

Благодаря за чертежа, добър е обаче все още не мога да реша б) и в) , ще те помоля да ги опишеш .

[M_Velinova]

Разгледай трапеца [tex]BDD_1B_1[/tex].
[tex]DB_1\cap OV=P[/tex]
[tex]PO=\frac{a}{3 } [/tex]
Построяваш [tex]PQ||AV,(Q\in AC)[/tex]
[tex]PQ=\frac{AV}{3 } =\frac{a\sqrt{5} }{6 } [/tex]
[tex]\cos \angle OPQ =\frac{OP}{PQ } =\frac{2\sqrt{5} }{5 } [/tex]

[M_Velinova]

Равнината [tex](MBD_1) || AV[/tex] и съдържа [tex]BD_1(PQ||AV)[/tex].
Разглеждаме пирамидата [tex](MABD_1)[/tex]
[tex]V_{MABD_1}=\frac{VO}{ 2}.S_{MAB} [/tex]
[tex]3.V_{MABD_1}=\frac{a}{ 2}.\frac{1}{4 } S_{ABCD} =\frac{a}{ 2}.\frac{a^2}{8 } =\frac{a^3}{16 } [/tex]
Означаваме с [tex]h[/tex] разстоянието от точка [tex]A[/tex] до р.[tex]MBD_1[/tex]
[tex]V_{MABD_1}=h.S_{MBD_1} [/tex]
[tex]MB=\frac{a\sqrt{10} }{4 } ;MD_1=\frac{a\sqrt{5} }{4 };D_1B=\frac{a\sqrt{13} }{4 } [/tex]
[tex]S_{MBD_1}=\frac{7a^2}{32 } [/tex] по Хероновата формула.
Тогава приравняваме двата обема.
Получава се [tex]h=\frac{2a}{ 7}[/tex] .
Дано да е ясно всичко

[baramski]

М Велинова нещо не схващам . Защо намираш косиноса на ъгъл OPQ като ние търсим косинуса на ъгъл QPB. Имам на предвид че ъгъла между AV и BD1 e ъгъл BPQ.
Ползвам буквите от твоя чертеж.

[M_Velinova]

О, недоглеждане!
Естествено на изпит човек трябва да си отваря очите, подобни грешки се наказват.
Ами за [tex]\angle BPQ[/tex] дай косинусова теорема. Напиши решението.

[Enforcer]

Ето и моето реш-е. Малко тромаво ( аз все така ги решавам- тръгвам от Ст.Загора през Враца за Бургас... ) Извинявам се, че така, но по-бавно ще стане, ако ги пиша с latex

[M_Velinova]

Прегледах внимателно решението ти.
Логически е издържано.
Наистина е дългичко, но рационалните решения стават с много работа.
Важно е, че се ориентираш в пространствените представи и знаеш теоремите.
Успех!

[ros4e]

Благодаряяя
Чак сега забелязвам, че съм писала от Енфорсер...или там как се чете
Това е приятелят ми и т.к пиша ту от моя комп, ту от неговия, не съм видяла, че той е влизал и съм пейстнала решението от неговия ник както и да е
Държа да кажа, че си е мое- той не може да измисли толкова добро ( тромаво ) реш-е