Примерна тема за СУ.

[quitestupid]

Ще се радвам да сверяваме отговори.

[Реклама]

[merili]

Зад. 9
Получава ми се при [tex] k=0, \frac{3\pm \sqrt{21} }{ 24} [/tex]

[naitsirk]

1-ва, май няма корени
на 2-ра получавам [tex]\sqrt{2} [/tex]
на 3-та 0
4-та [tex]x=\frac{5}{7 } [/tex]
5-та [tex]CM=R(\sqrt{sin^2\beta +cotg^2\alpha } -sin\beta )[/tex]
това е за сега

[_sssss]

Тая задача 6 ме притеснява.
[tex]a^3 -a(4-\sqrt{2}) + \sqrt{3}=0[/tex]
Как да няма РЕАЛНО решение, като [tex]\lim_{a\to\pm\infty}=\pm\infty[/tex].

То било втора степен.
--------------
9. k=0, отдясно е константа.
[tex]\normal x\in[9; \; \frac{3k-3}{-k}] \, \Leftrightarrow \, \frac{3k-3}{-k}\ge9 \, \Leftrightarrow \, k\in(0; \frac{1}{4}][/tex]
прехвърляме отляво [tex]\normal \Rightarrow[/tex] k>0 - f(x) е растяща
[tex]\normal k\in[0;\frac{1}{4}][/tex]

[Spider Iovkov]

Задача 8. [tex]\begin{array}{||}3y-a\sqrt{x^2+1}=1 \\ x+y+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=a^2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}3y-a\sqrt{x^2+1}=1 \\ x+y+\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\cancel {x^2}-\cancel {x^2}-1}=a^2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}3y-a\sqrt{x^2+1}=1 \\ y+\sqrt{x^2+1}=a^2 \end{array}[/tex]

Сега, ако двойката числа [tex](x_{0};y_{0})[/tex] е решение, то също така и [tex](-x_{0};y_{0})[/tex] е решение, тоест [tex]x_{0}=-x_{0} \Rightarrow x=0[/tex]. Заместваме в системата и намираме

[tex]\begin{array}{||}3y-a=1 \\ y+1=a^2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}3y-a=1 \\ 3y+3=3a^2 \end{array} \Rightarrow 3a^2-a-4=0 \Leftrightarrow a=\frac{4}{3}, \, a=-1[/tex].

Остана да проверим дали за намерените стойности на параметъра системата действително има едно решение от вида [tex](0;y_{0})[/tex].

[tex]a=\frac{4}{3} \Rightarrow \begin{array}{||}4\sqrt{x^2+1}=9y-3 \\ 9\sqrt{x^2+1}=16-9y \end{array} \Leftrightarrow x_{0}=0, \, y_{0}=\frac{7}{9}[/tex]

[tex]a=-1 \Rightarrow \begin{array}{||}\sqrt{x^2+1}=1-3y \\ \sqrt{x^2+1}=1-y \end{array} \Leftrightarrow x_{0}=0, \, y_{0}=0[/tex]

[naitsirk]

[_sssss]

Да, прав си, това е при k>0, при k<0 става [tex]\normal x>\frac{3k-3}{-k} \; \; \; [/tex]
Кофти! Тия дни нещо... сигурно е заради изборите.(оправдания)
Значи е най-добре да се реши с полагане, все пак.

[quitestupid]

И при мен са така, на 5-та ми е по друг начин просто сметнато сигурно. 7 и 10 някой успя ли да реши, и за 6-та достатъчно ли е само да намерим границите.

[NoThanks]

На 7ма помня, че авторското решение беше с Птолемей, иначе аз го бях докарал и само с тригонометрия, макар и малко по-дълго 10-та е мани бегай, макар че решението е логично, но все пак на евентуален изпит не би била решена от повече от 1-2 души(дали ще има и толкова)

[quitestupid]

Пусни да го видим, ако го намериш

[Spider Iovkov]

Задача 9. [tex]\sqrt{x-9}=3-kx-3k \, (*)[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{x-9}=u, u\ge 0 \Rightarrow x-9=u^2 \Leftrightarrow u^2+9[/tex]. Заместваме в първоначалното уравнение и достигаме до

[tex]ku^2+u+12k-3=0 \, (**)[/tex].

За да намерим търсените стойности на параметъра, за които [tex](*)[/tex] има само едно решение, ще разгледаме подробно няколко случая за [tex](**)[/tex].

І случай. [tex]k=0 \Rightarrow (**) \Leftrightarrow u-3=0 \Leftrightarrow u=3, \, u\ge 0[/tex]; при [tex]k=0[/tex] уравнението [tex](*)[/tex] има единствено решение [tex]x=18[/tex], тоест [tex]\fbox {k=0}[/tex] влиза в крайния резултат.

ІІ случай. Нека сега [tex]k\neq 0[/tex]. Тук ще трябва да се спрем на няколко подслучая.

а) случай. Нека [tex]D=0[/tex], тоест [tex]48k^2-12k-1=0 \Leftrightarrow k_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{21}}{4}[/tex]. При тези стойности на параметъра уравнението [tex](**)[/tex] има единствен корен [tex]u_{0}=-\frac{1}{2k}[/tex]. Но за да получим от него корен на [tex](*)[/tex], то трябва да е изпълнено [tex]u_{0}\ge 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2k}\ge 0 \Leftrightarrow k<0 \Rightarrow \fbox {k=\frac{3-\sqrt{21}}{24}}[/tex].

б) случай. Сега нека [tex]D>0 \Leftrightarrow 48k^2-12k-1<0 \Leftrightarrow k \in (\frac{3-\sqrt{21}}{24}; \frac{3+\sqrt{21}}{24})[/tex]. Уравнението [tex](**)[/tex] има два различни корена. За да има в този случай [tex](*)[/tex] единствено решение, то е необходимо да са изпълнени някои от възможностите, които ще изброим по-долу:

– [tex]u_{1}<0<u_{2} \Leftrightarrow a_{0}f(0)<0 \Leftrightarrow k(4k-1)<0 \Leftrightarrow \fbox {k\in (0;\frac{1}{4})}[/tex], където [tex]a_{0}[/tex] е старшият коефициент на квадратния тричлен [tex]ku^2+u+12k-3[/tex];

– [tex]u_{1}<u_{2} \le 0[/tex]; единият корен на [tex](**)[/tex] е [tex]u_{2}=0[/tex], откъдето [tex]f(0)=0 \Leftrightarrow 12k-3=0 \Leftrightarrow \fbox {k=\frac{1}{4}}[/tex]; от формулата на Виет [tex]u_{1}+u_{2}=-\frac{b}{2a_{0}}[/tex] намираме другия корен – [tex]u_{1}=-2[/tex]; тази стойност на параметъра е решение.

Окончателно: уравнението [tex](*)[/tex] има единствен реален корен, когато [tex]k\in [0;\frac{1}{4}] \cup {\frac{3-\sqrt{21}}{4}}[/tex].

[kamen]

Интересно,на 9-та получавам друго :

[tex]\sqrt{x-9}[/tex] = 3-kx-3k
[tex]\sqrt{x-9}[/tex] + kx = 3-3k

x [tex]\ge[/tex] 9
Нека к > 1
Тогава уравнението от ляво е положително,а от дясно е отрицателно т.е няма решение.

Сега нека k [tex]\le[/tex] -1
Тъй като x и [tex]\sqrt{x-9}[/tex] са положителни и [tex]x > \sqrt{x-9}[/tex] , то
[tex]\sqrt{x-9}[/tex] + kx < 0
3-3k > 0
Тоест няма решение.

Сега нека к [tex]\in[/tex] [0,1]
Лявата страна расте за всяко x и e [tex]\ge[/tex] 9k
Т.е когато 9к [tex]\le[/tex] 3-3к уравнението има ед. реш.
Т.е к [tex]\in[/tex] [0,[tex] \frac{1}{4 }[/tex]]

Сега нека к [tex]\in (0,-1)[/tex]
Изследваме първата производна на лявата страна и получаваме екстремум при
x = 9+[tex]\frac{1}{4k^2 } [/tex]
Но f(9) < 0 т.е имаме ед. реш което [tex]\in [ 9+\frac{1}{4k^2 },\infty)[/tex]
Сега лявата страна [tex]\ge \sqrt{ 9+\frac{1}{4k^2 } -9}[/tex] + [tex]k( 9+\frac{1}{4k^2 } )[/tex] = [tex]\frac{3+36k^2}{4k } [/tex]
Т.е когато [tex]\frac{3+36k^2}{4k } \le[/tex] 3-3k уравнението има ед.реш.
[tex]8k^2 - 4k + 1 \ge 0[/tex]
Т.е всяко к [tex]\in (0,-1)[/tex] e решение.
Окончателно к [tex]\in (-1,\frac{1}{ 4}][/tex].