лека загрявка с интересни задачи 2

[Deli1]

Нека триъгълника A₁A₂A₃ e равностранен и за всяко естествено число n точката A_n+3 e среда на отсечката A_nA_n+1.Колко градуса е ъгъл A₆A₇A₄ ?

[Реклама]

[marti1295]

Тази задачка е по-трудна от другата.Да не би да се получава 120 [tex]^\circ [/tex]?
ПП:Не знам дори дали чертежа ми е верен.

[Deli1]

120 градуса е.Напиши и решението

[marti1295]

Първо кажи дали това е чертежа, за да не пиша глупости.

[Deli1]

направи го по твоя чертеж

[marti1295]

Предупреждавам ви, че следващото решение не е за хора със слаби сърца.Ако можех аз бих си дал отрицателен вот.Но само това измислих, пък и жегата ме е напеклааа.
Намираме, че [tex]A4[/tex] - среда на [tex]A1A2, A5[/tex] - среда на [tex]A2A3[/tex], [tex]A6[/tex] - на[tex] A3A4[/tex], и [tex]A7[/tex] - на [tex]A4A5[/tex].Построяваме и средата на [tex]A3A5 [/tex]- точка M.
[tex]A2A4=A2A5=A3A5[/tex] ; триъгълник [tex]A2A5A4 [/tex]-равнобедрен с ъгъл [tex]60 ^\circ \Rightarrow A2A5A4[/tex] - равностранен [tex]\Rightarrow A4A2=A2A5=A4A5=A3A5=2* A4A7=2* A5A7=2*A5M=2*A3M \Rightarrow A4A7=A5A7=A5M=A3M \Rightarrow[/tex] триъгълник [tex]A4A5A3 [/tex]и [tex]A7A5M[/tex] - равнобедрен и ъгъл [tex]A3A4A5=A4A3A5=MA7A5=A7MA5=30[/tex] ;Означаваме ъгъл [tex]A4A6A7[/tex] с [tex]x[/tex] Получаваме, че ъгъл [tex]A6A7M=30+x-30=x [/tex]; триъгълниците[tex] A6A4A7[/tex] и [tex]A3A6M [/tex]са еднакви [tex]\Rightarrow A6A7M [/tex]- равнобедрен[tex] \Rightarrow A6MA7=x[/tex].
[tex]MA7[/tex] свързва средите на [tex]A3A5[/tex] и [tex]A4A5[/tex] и е успоредна на [tex]A3A4[/tex] [tex]\Rightarrow MA7[/tex] е средна отсечка и е равна на половината от [tex]A3A4 \Rightarrow A4A6=A7M \Rightarrow A6A4A7M[/tex] e успоредник[tex] \Rightarrow x = 30 \Rightarrow A6A7A4=120[/tex]
ПП:Ако има грешки не ме търсете.Отивам да се охлаждам, че изпуших щом пиша такива решения.
ПП2:Сигурен съм, че има и по-лесно (много по-кратко) решение.

[krainik]

Ясно е, че [tex]A_{2}A_{4}A_{5}[/tex]-равностранен.Достатъчно е да се докаже, че [tex]A_{3}A_{5}[/tex] е успоредна на [tex]A_{6}A_{7}[/tex]. Имаме последователно [tex]S_{A_{7}A_{6}A_{4}}=S_{A_{7}A_{6}A_{5}}[/tex] и [tex]S_{A_{7}A_{6}A_{4}}=S_{A_{7}A_{6}A_{3}}[/tex](равни височини и основи), откъдето получаваме [tex]S_{A_{7}A_{6}A_{5}}=S_{A_{7}A_{6}A_{3}}[/tex], но основата [tex]A_{6}A_{7}[/tex] е обща, т.е и височините към нея в 2та триъгълника са равни, което пък ни дава [tex]A_{3}A_{5}||A_{6}A_{7}[/tex], откъдето вече е ясно, че търсеният ъгъл е [tex]120^{\circ}[/tex].
ПП По абсолютно аналогичен начин на горния можем да докажем, че ако върху страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] на [tex]\Delta ABC[/tex] са избрани съответно точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex], такива че [tex]\frac{AM}{MC}=\frac{BN}{NC}[/tex], то [tex]MN||AB[/tex].Това е известно като теорема на Талес.
ПП₂ Очаквам коментари от вида на: " На къв се праиш кат решаваш задачите на малките". Аз просто исках да им покажа (макар и съвсем бегло) метода на сравняване на лица, който е изключително полезен в геометрични задачи.

[marti1295]

Браво krainik!Страхотно решение.Много ме впечатли.Интересно ми беше да видя този метод с лицата.Разбира се, че никой няма да ти направи забележка, че се включи в темата, а напротив - ще ми е много приятно пак да се включваш с такива интересни решения.Страшно съм ти благодарен, сега запали любопитството ми да намеря повече такива задачи, в които се използват лица.А за тази теорема на Талес - по начина по който реши първата задача, така и аз я доказах.
Още веднъж - благодаря!