лека загрявка с интересни задачи

Deli1

Колко измежду естествените числа от 1 до 10 000,чиято цифра на единиците е 1,могат да се представят във вида 8^m+5ⁿ,където m и n са естествени числа?

Реклама

krainik · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 7:53 am Заглавие:

Задачата е доста лесна, но, за съжаление, хората от твойта възрастова група са малко във форума и се съмнявам някой да напише решение.

marti1295 · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 8:19 am Заглавие:

Аз имам някакви идеи,но ще помисля малко. Sad

ПП:Отговора е 5, нали?

Deli1 · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 10:29 am Заглавие:

Какво е решението на задачата?

marti1295 · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 10:50 am Заглавие:

Сега ще напиша моите разсъждения (може и да са неправилни)
[tex]5^n[/tex] завършва на 5 за всяко n. [tex]8^m[/tex] завършва на 8,4,2,6.За да може нашето число да завършва на 1 трябва m да се дели на 4.Числата удовлетворяващи условията са[tex] 8^4+5[/tex] ;[tex] 8^4 + 5^2[/tex] ;[tex]8^4+5^3 [/tex];[tex] 8^4+5^4[/tex] и [tex]8^4+5^5[/tex] .
Да докажем, че [tex]8^8[/tex] е по-голямо от 10 000.
[tex]\frac{8^8}{ 10^4} = \frac{(2^5)^4}{5^4 } >1[/tex] .Следователно [tex]8^8 [/tex] е по-голямо от 10 000, следователно за m има само една възможност [tex]m=4[/tex].
Сега да докажем, че [tex]5^6>10000[/tex]. [tex] \frac{5^6}{10^4 } = \frac{25}{16 }>1[/tex].Следователно [tex]5^6>10000[/tex].И сега[tex] 0<n<6[/tex].Възможностите за n са 1,2,3,4 и 5
ПП:Благодаря на звездите ми го говорят за подсказката как да довърша задачата.