Тренировъчна задача преди изпита

[Spider Iovkov]

При кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] уравнението

[tex](\sqrt{x^2-2ax+7}+\sqrt{x^2-2ax+5})^x+(\sqrt{x^2-2ax+7}-\sqrt{x^2-2ax+5})^x=2(\sqrt{2})^x[/tex]

има единствено решение?

[Реклама]

[mkmarinov]

[tex](\sqrt{\frac{x^2-2ax+7}{2}}+\sqrt{\frac{x^2-2ax+5}{2}})^x+(\sqrt{\frac{x^2-2ax+7}{2}}-\sqrt{\frac{x^2-2ax+5}{2}})^x=2[/tex]

ДМ: [tex]x^2-2ax+5\ge 0[/tex]

(Да се отбележи, че х=0 винаги е решение => трябва да няма друго решение)
Изразите за основи са "очевидно" реципрочни и положителни. Сборът на 2 реципрочни числа е >= 2, като равенство се достига в единицата, т.е. искаме поне едното от тях (очевидно по-голямото) да е винаги по-голямо от единица за всяко х.
[tex]\sqrt{x^2-2ax+7}+\sqrt{x^2-2ax+5}>\sqrt{2}[/tex]
[tex]\sqrt{x^2-2ax+5}=t \ge 0[/tex]
[tex]\sqrt{t^2+2}+t>\sqrt{2}[/tex]
[tex]\sqrt{t^2+2}>\sqrt{2}-t[/tex]
Което е изпълнено за всяко t>0.
Остава t=0
[tex]x^2-2ax+5= 0[/tex]
[tex]x= a \pm \sqrt{a^2-5}[/tex]
Тези 2 стойности на х също са корени, така че трябва или и двете едновременно да са 0 (невъзможно), или да са недефинирани.
[tex] a \in (-\sqrt{5}; \sqrt{5})[/tex]