Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
merili Начинаещ
Регистриран на: 02 Jan 2009 Мнения: 77 Местожителство: Стара Загора гласове: 2
|
Пуснато на: Thu Jul 02, 2009 7:10 pm Заглавие: Математика 2, СУ, 2007 |
|
|
Задача 1. Решете уравнението [tex] log_{2} \frac{5-x}{ \sqrt{1-x} } =2.[/tex]
Задача 2. Лицето на ромб ABCD е равно на 120, а радиусът на вписаната в него окръжност е равен на [tex]\frac{60}{13 }[/tex] . Намерете дължините на диагоналите AC и BD.
Задача 3. Намерете всички решения на уравнението [tex] sin^{2}x+6sin^{2}\frac{x}{2 } =4.[/tex]
Задача 4. Около остроъгълен триъгълник ABC със страна BC= е описана окръжност с радиус 1. От върха A е спуснат перпендикуляр към допирателната към окръжността преь върха C, който пресича допирателната в точка M и CM=1. Намерете големината на [tex]\angle ACB[/tex] .
Задача 5. Намерете всички стойности на реалния параметър p, при които неравенствата
[tex] -9\le \frac{3x^{2}+px-6}{ x^{2}-x+1} \le 6 [/tex]
са изпълнени за всяко реално число x.
Задача 6. Най-малката и най-голямата страни в триъгълника ABC са BC=4 и AB=9. Намерете дължината на страната AC, ако е дадено, че триъгълник ABC е подобен на триъгълник с дължини на страните, равни на височините на ▲ABC.
Задача 7. Нека n е естествено число. Докажете, че за всяко реално число x>0 е изпълнено неравенството
[tex] (x+1)^{n}+(\frac{1}{ x}+1)^{n}\ge 2^{n+1}. [/tex]
Задача 8. В триъгълника ABC дължините на медианата CM от върха C(M AB) и ъглополовящата BL на ABC(L AC) се отнасят както 5:6, около четириъгълника MBCL може да се опише окръжност и AB=18. Намерете дължините на страните AC и BC.
Задача 9. Нека G е медицентър на правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза AB. Намерете възможно най-голямата стойност на cotg AGB.
Задача 10. Дадени са функциите [tex] f(x)=x^{2}+ax+b и g(x)=x^{2}-ax+c,[/tex] където реалните числа a,b и c удовлетворяват неравенството
[tex]2a^{2}(b+c) + (b-c)^{2}<0[/tex]. Докажете, че всяко от уравненията f(x)=0 и g(x)=0 има реални и различни корени. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък гласове: 34
|
Пуснато на: Thu Jul 02, 2009 7:37 pm Заглавие: |
|
|
8-ма:
Нека [tex]CM=5x,BL=6x[/tex]. Първо докажи, че ML=LC. След това изрази AL и CL чрез страните. От формулата за ъглополовяща:
[tex]BL^2=36x^2=ac(1-(\frac{b}{a+c } )^2)[/tex]
От формулата за медиана:
[tex]4CM^2=100x^2=2a^2+2b^2-c^2[/tex]
и сега от теоремата на Птолемей за MBCL
[tex]30x^2=\frac{ab}{a+c }(a+\frac{c}{2 } ) [/tex]
Имайки предвид, че [tex]c=18[/tex] получихме система от 3 уравнения с 3 неизвестни на която неотрицателните решения са: [tex]a=7,b=15,x=\frac{2\sqrt{14} }{5 } [/tex]
Не е най-красивия начин, но върши работа |
|
Върнете се в началото |
|
|
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Thu Jul 02, 2009 8:06 pm Заглавие: |
|
|
7-ма: От неравенството [tex]a^{2}+b^{2}\ge 2ab[/tex](еквивалентно на [tex]\left(a-b\right)^2\ge 0[/tex]), следва, че [tex]\left(x+1\right)^{n}+\left(\frac{1}{x}+1\right)^{n}\ge 2\sqrt{\left(x+1\right)^{n}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{n}} \ge 2\sqrt{\left(2sqrt{x}\right)^{n}\left(\frac{2}{sqrt{x}}\right)^{n}} =2^{n+1}[/tex]. Равенство при [tex]x=1[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 1:18 am Заглавие: |
|
|
MM написа: | 7-ма: От неравенството [tex]a^{2}+b^{2}\ge 2ab[/tex](еквивалентно на [tex]\left(a-b\right)^2\ge 0[/tex]), следва, че [tex]\left(x+1\right)^{n}+\left(\frac{1}{x}+1\right)^{n}\ge 2\sqrt{\left(x+1\right)^{n}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{n}} \ge 2\sqrt{\left(2sqrt{x}\right)^{n}\left(\frac{2}{sqrt{x}}\right)^{n}} =2^{n+1}[/tex]. Равенство при [tex]x=1[/tex] |
х реално |
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 10:28 am Заглавие: |
|
|
martosss написа: | MM написа: | 7-ма: От неравенството [tex]a^{2}+b^{2}\ge 2ab[/tex](еквивалентно на [tex]\left(a-b\right)^2\ge 0[/tex]), следва, че [tex]\left(x+1\right)^{n}+\left(\frac{1}{x}+1\right)^{n}\ge 2\sqrt{\left(x+1\right)^{n}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{n}} \ge 2\sqrt{\left(2sqrt{x}\right)^{n}\left(\frac{2}{sqrt{x}}\right)^{n}} =2^{n+1}[/tex]. Равенство при [tex]x=1[/tex] |
х реално |
>0 e А иначе става и с Бернули + малко индукция, но горното решение определено е по-кратко |
|
Върнете се в началото |
|
|
mkmarinov Напреднал
Регистриран на: 08 Nov 2008 Мнения: 358 Местожителство: Враца гласове: 32
|
Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 11:29 am Заглавие: |
|
|
7:
От СА-СГ имаме
[tex](x+1)^n+(\frac{1}{x}+1)^n \ge 2\sqrt{(x+1)(\frac{1}{x}+1)}^n=2\sqrt{x+\frac{1}{x} +2}^n=2(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^n \ge 2.2^n=2^{n+1}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 12:39 pm Заглавие: |
|
|
Да бе, вярно, явно е трябваше да си легна по-рано |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tinna Редовен
Регистриран на: 13 Apr 2009 Мнения: 231
гласове: 19
|
Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 1:01 pm Заглавие: |
|
|
8 зад. /по-кратко решение/
[tex]\angle ABL=\angle ACM[/tex]- вписани ъгли =>
[tex]\Delta AMC[/tex] ~ [tex]\Delta ALB=>\frac{AM}{ AL} =\frac{MC}{LB }=\frac{AC}{ AB} [/tex]
[tex]\frac{9}{ AL}=\frac{5}{ 6}=\frac{AC}{18 } [/tex]
[tex]AC=15; AL=\frac{54}{ 5}=>LC=\frac{21}{ 5} [/tex]
AL-ъглополовяща =>[tex]\frac{AL}{LC } =\frac{AB}{BC } [/tex]
Заместваме с получените стойности и намираме ВС=7 |
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 4:18 pm Заглавие: |
|
|
Задача 5.
[tex]-9 \le \frac{3x^2+px-6}{x^2-x+1} \le 6 \Leftrightarrow \begin{array}{||}\frac{3x^2+px-6}{x^2-x+1}\ge -9 \\ \frac{3x^2+px-6}{x^2-x+1}\le 6 \end{array}[/tex]
Понеже [tex]x^2-x+1>0 \, \foral x[/tex], то горните неравенства са еквивалентни на
[tex]\begin{array}{||}3x^2+px-6\ge -9(x^2-x+1) \\ 3x^2+px-6\le 6(x^2-x+1) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}12x^2+(p-9)x+3\ge 0 \\ 3x^2-(p+6)x+12\ge 0 \end{array}[/tex].
Оттук – за да са изпълнени за всяко реално [tex]x[/tex] тези неравенства, е нужно техните дискриминанти да са неположителни:
[tex]\begin{array}{||}(p+3)(p-21)\le 0 \\ (p-6)(p+18)\le 0 \end{array} \Leftrightarrow p\in [-3;6][/tex]. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 10:10 am Заглавие: |
|
|
Задача 9. Нека [tex]BC=a, \, AC=b, \, AB=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] и са дадени двете медиани [tex]AK[/tex] и [tex]BN, \, K\in BC, \, N\in AC, \, AK \cap BN = G \Rightarrow AG=\frac{2}{3}AK, \, BG=\frac{2}{3}BN[/tex].
[tex]\triangle AKC \Rightarrow AC^2+CK^2=AK^2 \Leftrightarrow b^2+\frac{a^2}{4}=AK^2 \Leftrightarrow AK^2=\frac{a^2+4b^2}{4}[/tex]
[tex]\triangle BNC \Rightarrow CN^2+BC^2=BN^2 \Leftrightarrow a^2+\frac{b^2}{4}=BN^2 \Leftrightarrow BN^2=\frac{b^2+4a^2}{4}[/tex]
[tex]\triangle AGB \Rightarrow AB^2=AG^2+BG^2-2.AG.BG. cos\angle AGB \Leftrightarrow cos\angle AGB=-\frac{2a^2+2b^2}{\sqrt{(a^2+4b^2)(b^2+4a^2)}}[/tex]
[tex]sin^2\varphi+cos^2\varphi=1 \Leftrightarrow sin^2\varphi=1-cos^2\varphi \Rightarrow sin\angle AGB=\frac{3ab}{\sqrt{(a^2+4b^2)(b^2+4a^2)}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \cot\angle AGB=-\frac{2(a^2+b^2)}{3ab}[/tex]
Но [tex]\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2 \Leftrightarrow -\frac{a^2+b^2}{ab}\le -2 \Rightarrow \cot\angle AGB_{\max}=-\frac{4}{3}[/tex]. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|