Задача от предварителния изпит в СУ през 2007

[merili]

Около равнобедрен правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при върха C е описана окръжност. Върху дъгата AB от окръжността, която не съдържа точката C, е взета точка M. От точката C е спуснат перпендикуляр към правата AM, който пресича отсечката AM във вътрешна точка N. Докажете, че MN=AN+MB.

[Реклама]

[naitsirk]

Нека [tex]\angle MAB=\alpha,AC=BC=a [/tex]. Тогава имаме [tex]AN=a.cos(45+\alpha )[/tex], [tex]BM=\sqrt{2}a.sin\alpha [/tex], [tex]MN=AM-AN=\sqrt{2}a.cos\alpha -a.cos(45+\alpha ) [/tex]. Заместваме в инсканото [tex](MN=AN+MB)[/tex] и получаваме:
[tex]\sqrt{2}cos\alpha -cos(45+\alpha )=cos(45+\alpha )+\sqrt{2}sin\alpha [/tex]
<=>
[tex]\sqrt{2}cos(45+\alpha )=cos\alpha -sin\alpha [/tex] Което очевидно е вярно

[inimitably]

От теорема на Птоломей за [tex]AMBC[/tex] имаме , че

[tex]AB.CM=BM.AC+BC.AM |:AC=BC[/tex]

[tex]\sqrt{2} CM=BM+AM[/tex] , но от правоъгълния равнобедрен [tex]\triangle MNC[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]CN=MN=\sqrt{2} CM[/tex] , т.е.

[tex]MN=BM+AN[/tex]

Нека [tex]O[/tex] е център на описаната окръжност и [tex]ON\cap BM=Q[/tex] , тогава [tex]BNCQ[/tex] е квадрат и [tex]BQC\equiv ANC[/tex] , т.е.

[tex]MN=BM+BQ=BM+AN[/tex]

[r2d2]

Може ли някой да реши тази зада4а със знания до 8-ми клас? (аз мога!)

[Saposto_MM]

Да! Тази задача съм я решавал, когато бях 8-ми клас, обаче не за правоъгълен, а произволен равнобедрен! Решението е доста лесно! Върху [tex]\vec{MA}[/tex] взимаме точка K, така че A е между M и K и AK=BM. Веднага излиза [tex]\Delta KAC \simeq\Delta BMC[/tex], откъдето CK=CM, и понеже CN е перпендикуляр, то NK=NM, откъдето MN=AN+BM.
Давана е на младежка балканиада!