Параметрично уравнение

[merili]

Да се намерят стойностите на параметъра a, за които уравнението
[tex] x^{4}-2ax^{3}+(a^{2}-2)x^{2}+2ax-15=0[/tex]
има четири различни реални корена, които са последователни членове на аритметична прогресия.

[Реклама]

[_sssss]

[tex]\normal t=x - \frac{1}{x}; \: x^2 + \frac{1}{x^2}=t^2 + 2[/tex]

[tex]\normal t^2 - 2a + a^2 - \frac{16}{x^2}=0 \\ (t-a)^2 - \( \frac{4}{x} \)^2=0 \\ (x^2 - ax - 5)(x^2 -ax + 3)=0[/tex]

Върхът и на двете графики е [tex]\frac{a}{2}[/tex], но [tex]\normal \sqrt{a^2 + 20} > \sqrt{a^2 - 12} \Leftrightarrow a\in(-\infty; 2\sqrt{3})\cup(2\sqrt{3}; +\infty)[/tex]
Корените на второто уравнение са м/у тези на първото и са втори и трети член.

[tex]\normal x_1'' + p = x_2'' \rightarrow p=\sqrt{a^2 - 12}[/tex]

[tex]\normal x_1 ' + 3p=x_2'[/tex]

[tex]\normal 3\sqrt{a^2 - 12}=\sqrt{a^2 + 20} \\ 8a^2=128 \Rightarrow a=\pm 4[/tex]