Триъгълник и окръжност

[merili]

Радиусът на вписаната окръжност в правоъгълен триъгълник има дължина 1, а хипотенузата му има дължина c.
а) Да се докаже, че [tex] c \ge 2+2\sqrt{2}[/tex].
б) Да се определи най-малката възможна стойност на разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълника.

[Реклама]

[naitsirk]

a)
При стандартни означения:
[tex]r=\frac{a+b-c}{2 }=1 [/tex] => [tex]a+b-c=2[/tex] => [tex]c(sin\alpha +cos\alpha -1)=2[/tex] => [tex]c=\frac{2}{sin\alpha +cos\alpha -1 } [/tex], [tex]c[/tex] има най-малка стойност, когато знаменателят е най-голям. Имайки предвид, че [tex]|sin\alpha +cos\alpha|\le \sqrt{2} [/tex] => [tex]c\ge \frac{2}{\sqrt{2}-1 }=2(1+\sqrt{2} )=2+2\sqrt{2} [/tex].
b)
От формулата на Ойлер
[tex]OI=\sqrt{R^2-2Rr}=\sqrt{R^2-2R} [/tex], [tex]R=\frac{c}{2 } [/tex]
[tex]OI=\sqrt{\frac{c^2}{4 }-c }[/tex] Тази функция в интервала [tex][2;+\infty )[/tex] е растяща => за [tex]c\ge 2+2\sqrt{2} [/tex] има най-малка стойност за [tex]c=2+2\sqrt{2} [/tex], която е [tex]OI_{min}=\sqrt{5} [/tex]