Триъгълник

[merili]

Върху страната AB на триъгълника ABC са избрани точките E и K така,че AE<AK и 3AE=BE, 2KB=AK. Медианата AD пресича отсечката CE в точката L, а отсечката CK в точката M. Сумата от квадратите на лицата на триъгълниците CEK и CLM е равна на [tex]\frac{769}{900 } [/tex]. Да се намери лицето на триъгълника ABC.

[Реклама]

[naitsirk]

2

[merili]

не знам колко е отговора
ако не те затруднява, може ли да напишеш как го получи

[inimitably]

Приложи два пъти теорема на Менелай за [tex]\triangle ADB[/tex] и правите [tex]CE[/tex] и [tex]CK[/tex] .Оттам намираш отношението [tex]AL:LM:MD[/tex] , после изразяваш двете лица чрез лицето на [tex]\triangle ABC[/tex].Отговорът беше 1 или 2 , не си спомням вече
pp. зад. е от примерна тема за ТУ от 2005г.

[naitsirk]

Нека [tex]AB=c[/tex], [tex]3AE=BE[/tex] => [tex]AE=\frac{c}{4 }, BE=\frac{3}{4 }c [/tex], [tex]2BK=AK[/tex] => [tex]BK=\frac{c}{3 },AK=\frac{2}{3 }c [/tex], [tex]EK=AK-AE=\frac{5}{12 }c [/tex].
[tex]\Delta AEK[/tex] и [tex]\Delta ABC[/tex] имат една и съща височина => лицата им се отнасят както страните към която е спусната височината, т.е. [tex]\frac{S_{CEK}}{S }=\frac{EC}{AB }=\frac{5}{12 } [/tex] => [tex]S_{SEK}=\frac{5}{12 }S [/tex], където с [tex]S[/tex] бележим лицето на [tex]\Delta ABC[/tex].
През [tex]D[/tex] построяваме права успоредна на [tex]CE[/tex], която пресича [tex]AB[/tex] в точка [tex]F[/tex]. [tex]D[/tex]-среда => [tex]DF[/tex] средна отсечка в [tex]\Delta EBC[/tex] => [tex]BF=\frac{BE}{2 }=\frac{3}{8 }c [/tex] => [tex]AF=AB-BE=\frac{5}{8 }c [/tex].
[tex]\Delta AEL\approx \Delta AFD[/tex] => [tex]\frac{LE}{DF }=\frac{AE}{AF }=\frac{2}{5 } [/tex], но [tex]DF=\frac{CE}{2 } [/tex] => [tex]\frac{LE}{CE }=\frac{1}{5 } [/tex] => [tex]\frac{CL}{CE }=\frac{4}{5 } [/tex].
Отново през [tex]D[/tex] постряваме права успоредна на [tex]CK[/tex], която пресича [tex]AB[/tex] в точка [tex]P[/tex]. [tex]DP[/tex] средна отсечка в [tex]\Delta BCK[/tex] => [tex]BP=\frac{BK}{2 }=\frac{c}{6 } [/tex] => [tex]AP=AB-BP=\frac{5}{6 }c [/tex].
[tex]\Delta AKM\approx \Delta APD[/tex] => [tex]\frac{MK}{DP }=\frac{AK}{AP }=\frac{4}{5 } [/tex], но [tex]DP=\frac{CK}{2 } [/tex] => [tex]\frac{MK}{CK }=\frac{2}{5 } [/tex] => [tex]\frac{CM}{CK }=\frac{3}{5 } [/tex].
Нека [tex]\angle ECK=\varphi [/tex].
имаме:
[tex]S_{CLM}=\frac{CL.CM.sin\varphi }{2 } [/tex], [tex]S_{CEK}=\frac{CE.CK.sin\varphi }{2 } [/tex] => [tex]\frac{S_{CLM}}{S_{CEK} }=\frac{CL}{CE }.\frac{CM}{CK } [/tex], но вече получихме тези отношения. => [tex]\frac{S_{CLM}}{S_{CEK} }=\frac{12}{25 } [/tex] => [tex]S_{CLM}=\frac{12}{25 }S_{CEK} [/tex], но [tex]S_{CEK}=\frac{5}{12 }S [/tex] => [tex]S_{CLM}=\frac{1}{5 }S [/tex].
От условието имаме:
[tex]S_{CEK}^2+S_{CLM}^2=\frac{769}{900 } [/tex]. Заместваме с получените изрази:
[tex]\frac{25}{144 }S^2+\frac{1}{25 }S^2=\frac{769}{900 } [/tex] и след опростяване: [tex]S^2=4[/tex] => [tex]S=2[/tex].

Прилагам и чертеж:

[merili]

Благодаря много