Тригонометрия + abs - неравенство

NetGh0st

|cosx| + |cos2x| ≥ [tex]\frac{\sqrt[]{2}}{ 2} [/tex]

Да се докаже, че е изпълено за всяко реално x.

Реклама

naitsirk · Пуснато на: Thu Jul 02, 2009 6:32 pm Заглавие:

ползвай, че [tex]cos2x=2cos^2x-1[/tex] и положи [tex]cosx=t\in [-1;1][/tex]. Разгледай ф-ята [tex]f(t)=|t|+|2t^2-1|[/tex]. Разкрий модулите в съответните интервали със съответните знаци, начртай графиките и ще видиш, че неравенството е изпълнено...

NetGh0st · Пуснато на: Thu Jul 02, 2009 7:09 pm Заглавие:

naitsirk · Пуснато на: Thu Jul 02, 2009 7:11 pm Заглавие:

Така както ти написах се получава, ако не успееш пиши, ще напиша решение Wink

. Иначе можеш да се осводобиш от модулите като повдигнеш на 2-ра степен, само че в удвоеното произведение модула ще остане от него няма как да се оттървеш Wink

NetGh0st · Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 9:40 am Заглавие:

Получи се, благодаря!

naitsirk · Пуснато на: Fri Jul 03, 2009 11:57 am Заглавие:

Прикачил съм файл на който са показани знаците на модулите в различните интервали. След разкриването им получаваме:
[tex]t\in [-1;-\frac{\sqrt{2} }{2 }] [/tex], [tex]f(t)=2t^2-t-1[/tex]
[tex]t\in [-\frac{\sqrt{2} }{2 };0] [/tex], [tex]f(t)=-2t^2-t+1[/tex]
[tex]t\in [0;\frac{\sqrt{2} }{2 }] [/tex], [tex]f(t)=-2t^2+t+1[/tex]
[tex]t\in [\frac{\sqrt{2} }{2 };1] [/tex], [tex]f(t)=2t^2+t-1[/tex]

Сега за всеки интервал смяташ стойността да функцията в краищата му, намираш върха на пароболата за да разбереш интервалите на намаляване и растене на функцията и чертаеш графиката. Прикачвам и нея Wink

Очевидно минимума е [tex]f_{min}=f(-\frac{\sqrt{2} }{2 } )=f(\frac{\sqrt{2} }{2 } )=\frac{\sqrt{2} }{2 } [/tex]