един интеграл

[martin.nikolov]

Ето един интеграл и от мен.

[tex]\int_0^1\frac{log(x)}{1+x}dx[/tex]

[Реклама]

[илианко]

научих някои нови неща като:
[tex]\ln(1+x) = \sum^{\infty }_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }|x|\le 1, \, x\not= -1[/tex] ред на Taylor или в частност за конкретния логаритъм ред на Mercator
[tex]\int_0^1{\frac{ln(x)}{x+1}dx} = ln(x)ln(x+1) - \int_0^1{\frac{ln(x+1)}{x}dx}[/tex]
[tex]-\int_0^1{\frac{ln(x+1)}{x}dx} = -\int_0^1{[\frac{x}{x}-\frac{x^2/2}{x}+...-\frac{x^n/n)}{x}]dx}=-(1-1/4+1/9-...+1/n^2) = -\pi^2/12[/tex]

[s.karakoleva]

[илианко]

Ето справка за реда на Mercator, който не се разглежда за а=0, а за |x|<=1 http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_series

В случая, ако изследваме интеграла за 0+, резултата е същият,
още граница на реда
[tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\pi^2/12[/tex]

[s.karakoleva]

В науката винаги е имало спорове кой коя формула е открил пръв.
Същата формула за логаритъма е под номер (13) и в страницата за ред на Маклорен:
http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html

Но това си е точно ред на Маклорен, а може би Меркатор е използвал Теоремата на Маклорен за да изведе формули за логаритми.
По какво се познава дали е ред на Маклорен - по степените. Тук имаме степени на x: [tex]x^1,x^2,x^3\ldots[/tex], т.е. [tex](x-0)^1, (x-0)^2, (x-0)^3\ldots[/tex], т.е.
редът на Тейлър при [tex]a=0[/tex]. За това спор няма! Е, и аз научих за Меркатор, не знаех, че тези редове са наречени в негова чест...

Така, колкото за последния ред в средните скоби+... , той е алтернативен степенен ред (а не просто числов ред) и първо трябва той да се изследва за сходимост (абсолютна или условна), да се намери (ако е сходящ) радиус, интервал на сходимост и сума на реда и вече след това да се прилага формулата на Нютон-Лайбниц за определен интеграл.

П.П. В последните скоби защо стават знаменателите на квадрат? Според мен редът в средните скоби преди интегрирането е
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^n}{n+1}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\ldots[/tex]

[илианко]

[илианко]

а скоро учих преобразувания на Fourier и там имаше следния пример:

[s.karakoleva]

Ясно, че като се интегрира става така, но първо трябва да се докаже, че степенният ред е сходящ и едва тогава може да се интегрира почленно според Теоремата за почленно диф. и инт. на стeпенен ред. А и отначало трябва да се мине към несобствен интеграл и накрая да се търси границата при долна граница на интегриране [tex]a\to 0+\eps[/tex]. С две думи - всичко е вярно, само трябва да се доизпипа.

Хубаво е решението! Оригинално!

[илианко]

благодаря за напътствията!

[martin.nikolov]