Тема - УАСГ

[sunshine]

1зад. Дадено е уравнението
[tex]sin2x-2\sqrt{2}a(sinx-cosx)+1-4a=0 [/tex] където а е параметър.
а) Нека [tex]t=sinx-cosx[/tex]. Докажете, че ако [tex]x\in [\frac{\pi }{2}; \pi ][/tex], то [tex]t\in [1;\sqrt{2} ][/tex].
б) да се реши уравнението при [tex]a=\frac{1}{4} [/tex]
в) За кои стойности на а уравнението има решение в интервала [tex][\frac{\pi }{2};\pi ][/tex].

2зад. В триъгълника АВС точката О е ц-р на вписаната окръжност к.
а) През О минава права l, пресичаща страните АС и ВС. Нека [tex]x_{A},x_{B},x_{C}[/tex] са съответно разстоянията от А, В и С до l. Да се докаже, че [tex]ax_{A}+bx_{B}=cx_{C}[/tex], където a=BC, b=AC, c=AB.
б) да се докаже, че лицето на триъгълника, с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника АВС, е равно на [tex]\frac{pr^{2}}{2R}[/tex](при стандартните означения)
в) Да се намери най-голямата стойност на отношението на лицето на триъгълника с върхове допирните точки на к със страните на триъгълника и лицето на вписания в АВС кръг, ако [tex]\angle ABC=120^\circ [/tex]

3зад. Дадена е правилната четириъгълна пирамида ABCDE.
а) нека r и [tex]\alpha [/tex] са съответно радиусът на вписаната в пирамидата сфера и ъгълът м/у околен ръб и основата ABCD. Да се намери обемът на пирамидата.
б) при означенията от а) да се намери минималният обем на ABCDE като функция на [tex]\alpha [/tex].
в) нека BM и DN са медиани съответно в триъг. BCE и ADE. Да се намери косинусът на ъгъла м/у BM и DN, ако [tex]AE:AB=\sqrt{2}[/tex]

[Реклама]

[sunshine]

за 3-та а) и б) получих.. [tex]V=\frac{4}{3}r^{3}.cotg^{3}{\frac{\alpha }{2}}tg\alpha [/tex] и го преобразувах после за производната на [tex]V=\frac{8}{3}r^{3}({cotg^{2}}\frac{\alpha }{2}-{cotg^{4}}\frac{\alpha }{2} ) [/tex], получавам НМС при [tex]cotg\frac{\alpha }{2}= \pm \frac{\sqrt{2} }{2} -> V= \frac{2r^{3}}{3}[/tex] чудно, дали има нещо вярно

[naitsirk]

Обемът е толкова само че радиуса е на 3-та степен.

[sunshine]

аа, да, оправено е вече техническа грешка по другите задачки някакви отговори, решения,.. имаш ли ? : ) и къде се намира ъгълът на 3-та в)

[naitsirk]

2-ра я има решавана във форума, потърси я. На 3-та в ще пусна чертеж по-късно, ако някой не го е направил до тогава...

[merili]

на 1-ва б) получих [tex] x=-\frac{\pi }{ 4} +2k\pi [/tex] толкова ли е?

[Is it black or white?]

Аз получавам:
[tex]x_1=\frac{5\pi }{12} + 2k\pi [/tex]

[tex]x_2=\frac{13\pi }{12} + 2k\pi [/tex]

[tex]x_3=-\frac{\pi }{4} + 2k\pi [/tex]

Като заместя х с [tex]75 ^\circ [/tex], получавам, че е решение