Интеграл от държавен изпит

[ivan5kov]

Да се пресметне определения интеграл:

определен интеграл от 0 до ∏, вътре в интеграла имаме xsinx/1+cos²x dx


прикачил съм го!!!!

[Реклама]

[martin.nikolov]

Интересен интеграл. Получавам [tex]\frac{\pi^2}4[/tex]. Интересното е че ако се опита човек да намери неопределения интеграл се получават големи ужаси макар, че е възможно.

[martin.nikolov]

Записваш го така

[tex]\int_0^\pi x\left(-arctg(cos(x))\right)'dx[/tex]

Интегрираш веднъж по части. След това развиваш останаталта фунция в ред. И забелязваш, че интегралите след като ги пресметнеш се състоят само от разни синуси и като сметнеш границите ще се получи нула. Така че интеграла е равен само на първата част.


Интересното е, че неопределенич интеграл може да се сметне явно. Аз не можах, но го пуснах на компа и се получи две страници отговор. Не сметки а краен отговор.

[ivan5kov]

Мерси много! Хитро решение, нямаше да мога да се сетя.

[r2d2]

Направи смяна[tex] t=\pi -x[/tex]

[ivan5kov]

Нещо не мога да го добутам до края.

[martin.nikolov]

[tex]\int_0^\pi x\left(-arctg(cos(x))\right)'dx=-xarctg(cos(x))|_0^\pi+\int_0^\pi arctg(cos(x))dx[/tex]

Първата част дава [tex]\frac{\pi^2}4[/tex]. За втората представяш фунцията като ред от сепени на косинуса. И съобразяваш, че интегралите от степениете на косинуса са нули.

[r2d2]

[tex]I=\int_0^\pi \frac {x \sin x}{1+ \cos ^2 x}dx [/tex]

Правим смяна [tex]t = \pi - x[/tex]

[tex]I= -\int_\pi^ 0 \frac {(\pi -t) \sin t}{1+ \cos ^2 t}dt=\pi \int_0^\pi \frac { \sin x}{1+ \cos ^2 x}dx - I \Rightarrow 2I = \pi \int_0^\pi \frac { \sin x}{1+ \cos ^2 x}dx=-\pi arctg(\cos x)|_0^\p \Rightarrow I=\frac {\pi ^2}{4}[/tex]

[martin.nikolov]

[ivan5kov]

Мерси за решенията!!!