Регистрирайте се
Интересно ирационално уравнение
|
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Tinna Редовен
Регистриран на: 13 Apr 2009 Мнения: 231
гласове: 19
|
Пуснато на: Tue Jun 30, 2009 7:08 am Заглавие: Интересно ирационално уравнение |
|
|
При всяка стойност на параметъра [tex]a[/tex] решете уравнението:
[tex]\sqrt{-x^3+(a-1)x^2+(a-2)x+2a}=2x^2+3x-a+4[/tex]. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Tue Jun 30, 2009 2:27 pm Заглавие: |
|
|
Тина, уравнението е интересено, но защо си го пуснала в раздел "Висша алгебра"?
Не е трудно, да се съобрази, че може да се представи като:
[tex]\sqrt{-(x-a)(x^2+x+2)}=2(x^2+x+2)+(x-a)[/tex] Очевидно квадратния тричлен е положителен за всяко х. Тогава полагаме:
[tex]x-a=u\le 0; x^2+x+2=v>0; 2v+u\ge 0=> [/tex]
[tex]\sqrt{-uv} =2v+u=>-uv=4u^2+4uv+v^2=0=> [/tex]
[tex]v^2+5uv+4u^2=0=>v=u\cup v=4u [/tex]
Връщаме се в полагането, съставяме две квадратни уравнения и изследваме корените, съобразявайки се с ДС |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tinna Редовен
Регистриран на: 13 Apr 2009 Мнения: 231
гласове: 19
|
Пуснато на: Tue Jun 30, 2009 3:32 pm Заглавие: |
|
|
Явно още съм била сънена когато съм писала и не съм погледнала хубаво раздела. Извинявам се, но по- важното е да се решава, нали? |
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Wed Jul 01, 2009 9:27 am Заглавие: |
|
|
[tex]\sqrt{-x^3+(a-1)x^2+(a-2)x+2a}=2x^2+3x-a+4[/tex]
Лесно се забелязва, че [tex]x=a[/tex] удовлетворява уравнението [tex]-x^3+(a-1)x^2+(a-2)x+2a=0[/tex]. Тогава по правилото за деление на полиноми подкоренната величина може да бъде представена като [tex](a-x)(x^2+x+2)[/tex] и уравнението добива вида
[tex]\sqrt{(a-x)(x^2+x+2)}=2x^2+3x-a+4[/tex].
Полагаме [tex]\sqrt{a-x}=u \Rightarrow a-x=u^2[/tex] и [tex]\sqrt{x^2+x+2}=v \Rightarrow x^2+x+2=v^2 \Leftrightarrow 2(x^2+x+2)=2v^2[/tex]. От второто равенство изваждаме първото: [tex]2v^2-u^2=2x^2+2x+4-a+x \Leftrightarrow 2v^2-u^2=2x^2+3x-a+4[/tex], което е точно дясната страна на изходното уравнение. Тогава то се представя като
[tex]uv=2v^2-u^2 \Leftrightarrow u^2+uv-2v^2=0 \Leftrightarrow u^2+uv-v^2-v^2=0 \Leftrightarrow (u+v)(u-v)+v(u-v)=0 \Leftrightarrow (u-v)(u+2v)=0[/tex].
Но [tex]u\ge 0, v>0 \Rightarrow u+2v\neq 0[/tex]. Разделяме на [tex]u+2v[/tex] и получаваме
[tex]u=v \Leftrightarrow a-x=x^2+x+2 \, (*)[/tex].
От друга страна, [tex]a-x\ge 0 \Leftrightarrow a\ge x[/tex]. Тогава от последното неравенство решението на [tex](*)[/tex] се свежда до решението на системата
[tex]\begin{array}{||}a-x=x^2+x+2 \\ a\ge x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x^2+2x+2-a=0 \\ a\ge x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}(x+1)^2=a-1 \\ a\ge x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x=-1 \pm \sqrt{a-1}, \, a\ge 1 \\ a\ge x \end{array}[/tex].
Получихме корените на [tex](*)[/tex]. Остава да проверим кога е изпълнено [tex]a\ge x[/tex]:
[tex]\begin{array}{||}\sqrt{a-1}-1\le a \\ -\sqrt{a-1}-1\le a \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}\sqrt{a-1}\le a+1, \, a\ge 1 \\ \sqrt{a-1}\ge -a-1, \, a\ge 1 \end{array}[/tex].
Но тези неравенства са изпълнени за всяко [tex]a\ge 1[/tex].
Отговор. При [tex]a<1[/tex] уравнението няма корени. При [tex]a=1[/tex] имаме [tex]x=-1[/tex] (решението е единствено). При [tex]a>1 \Rightarrow x=-1 \pm \sqrt{a-1}[/tex] (решенията са две). |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|