Регистрирайте сеРегистрирайте се

Интересно ирационално уравнение


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Tinna
Редовен


Регистриран на: 13 Apr 2009
Мнения: 231

Репутация: 32.9Репутация: 32.9Репутация: 32.9
гласове: 19

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 7:08 am    Заглавие: Интересно ирационално уравнение

При всяка стойност на параметъра [tex]a[/tex] решете уравнението:

[tex]\sqrt{-x^3+(a-1)x^2+(a-2)x+2a}=2x^2+3x-a+4[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 2:27 pm    Заглавие:

Тина, уравнението е интересено, но защо си го пуснала в раздел "Висша алгебра"? Wink

Не е трудно, да се съобрази, че може да се представи като:
[tex]\sqrt{-(x-a)(x^2+x+2)}=2(x^2+x+2)+(x-a)[/tex] Очевидно квадратния тричлен е положителен за всяко х. Тогава полагаме:
[tex]x-a=u\le 0; x^2+x+2=v>0; 2v+u\ge 0=> [/tex]
[tex]\sqrt{-uv} =2v+u=>-uv=4u^2+4uv+v^2=0=> [/tex]
[tex]v^2+5uv+4u^2=0=>v=u\cup v=4u [/tex]
Връщаме се в полагането, съставяме две квадратни уравнения и изследваме корените, съобразявайки се с ДС Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Tinna
Редовен


Регистриран на: 13 Apr 2009
Мнения: 231

Репутация: 32.9Репутация: 32.9Репутация: 32.9
гласове: 19

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 3:32 pm    Заглавие:

Явно още съм била сънена когато съм писала и не съм погледнала хубаво раздела. Извинявам се, но по- важното е да се решава, нали? Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Wed Jul 01, 2009 9:27 am    Заглавие:

[tex]\sqrt{-x^3+(a-1)x^2+(a-2)x+2a}=2x^2+3x-a+4[/tex]

Лесно се забелязва, че [tex]x=a[/tex] удовлетворява уравнението [tex]-x^3+(a-1)x^2+(a-2)x+2a=0[/tex]. Тогава по правилото за деление на полиноми подкоренната величина може да бъде представена като [tex](a-x)(x^2+x+2)[/tex] и уравнението добива вида

[tex]\sqrt{(a-x)(x^2+x+2)}=2x^2+3x-a+4[/tex].

Полагаме [tex]\sqrt{a-x}=u \Rightarrow a-x=u^2[/tex] и [tex]\sqrt{x^2+x+2}=v \Rightarrow x^2+x+2=v^2 \Leftrightarrow 2(x^2+x+2)=2v^2[/tex]. От второто равенство изваждаме първото: [tex]2v^2-u^2=2x^2+2x+4-a+x \Leftrightarrow 2v^2-u^2=2x^2+3x-a+4[/tex], което е точно дясната страна на изходното уравнение. Тогава то се представя като

[tex]uv=2v^2-u^2 \Leftrightarrow u^2+uv-2v^2=0 \Leftrightarrow u^2+uv-v^2-v^2=0 \Leftrightarrow (u+v)(u-v)+v(u-v)=0 \Leftrightarrow (u-v)(u+2v)=0[/tex].

Но [tex]u\ge 0, v>0 \Rightarrow u+2v\neq 0[/tex]. Разделяме на [tex]u+2v[/tex] и получаваме

[tex]u=v \Leftrightarrow a-x=x^2+x+2 \, (*)[/tex].

От друга страна, [tex]a-x\ge 0 \Leftrightarrow a\ge x[/tex]. Тогава от последното неравенство решението на [tex](*)[/tex] се свежда до решението на системата

[tex]\begin{array}{||}a-x=x^2+x+2 \\ a\ge x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x^2+2x+2-a=0 \\ a\ge x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}(x+1)^2=a-1 \\ a\ge x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x=-1 \pm \sqrt{a-1}, \, a\ge 1 \\ a\ge x \end{array}[/tex].

Получихме корените на [tex](*)[/tex]. Остава да проверим кога е изпълнено [tex]a\ge x[/tex]:

[tex]\begin{array}{||}\sqrt{a-1}-1\le a \\ -\sqrt{a-1}-1\le a \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}\sqrt{a-1}\le a+1, \, a\ge 1 \\ \sqrt{a-1}\ge -a-1, \, a\ge 1 \end{array}[/tex].

Но тези неравенства са изпълнени за всяко [tex]a\ge 1[/tex].

Отговор. При [tex]a<1[/tex] уравнението няма корени. При [tex]a=1[/tex] имаме [tex]x=-1[/tex] (решението е единствено). При [tex]a>1 \Rightarrow x=-1 \pm \sqrt{a-1}[/tex] (решенията са две).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.