Ъглополовяща и височина

[inimitably]

Вътрешната ъглоповяща през [tex]\angle ACB[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] пресича [tex]AB[/tex] в [tex]L[/tex].Нека [tex]A_{1}[/tex] е проекцията на [tex]A[/tex] върху [tex]CL[/tex] и [tex]H[/tex] е петата на височината през [tex]C[/tex]. Ако [tex]A_{1}H\cap BC=P[/tex] , да се докаже , че [tex]LP \bot BC[/tex].

[Реклама]

[martosss]

Нека [tex]BK[/tex] е височина в [tex]\Del LBC[/tex] и [tex]BK\cap CH=O[/tex]. Тогава [tex]O[/tex] - ортоцентър за [tex]\Del LBC[/tex], откъдето [tex]LO\bot BC[/tex]. Нека [tex]LO\cap BC=T\Right LT\bot BC\: (1)[/tex]. [tex]HBTO[/tex] - вписан в окръжност [tex]\Right \angle OHT=\angle OBT[/tex]
От [tex]\Del OBK\Right \angle OBK=\frac{\gamma}{2}[/tex], тогава [tex]\angle OHT=90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex].
[tex]ALHC[/tex] - вписан в окръжност [tex]\Right \angle LHA=\angle LAC=\frac{\gamma}{2}[/tex]
Освен това [tex]\angle AHC=90^\circ[/tex].
Тогава [tex]\angle LHT=\angle LHA+\angle AHC+\angle CHT=\frac{\gamma}{2}+90^\circ+90^\circ-\frac{\gamma}{2}=180^\circ\Right[/tex] [tex]L,\: H[/tex] и [tex]T[/tex] лежат на една права [tex] \Right LH\cap BC=T[/tex].
Но ние получихме, че [tex]LT\bot BC\: (1)[/tex], с което задачата е решена.


Това построение, с което се получава ортоцентър, сме го учили в далечния 9 клас(доколкото си спомням) около свойство на ортоцентър. Ако тогава не бях решавал подобни задачи сега нямаше да има никакъв шанс да се сетя.

[inimitably]

Ще ползвам означенията на martosss

[tex]\triangle KLH[/tex]~[tex]\triangle BLC[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle KHL=\frac{\gamma }{2 } [/tex]

Нека [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex] , тогава имаме , че [tex]A_{1}M||BC[/tex] , т.е. [tex]\angle KHL=\angle MA_{1}K=\frac{\gamma }{2 } [/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]M,K,H[/tex] и [tex]A_{1}[/tex] лежат на една окръжност.

От друга страна [tex]\angle AHA_{1}=\angle ACA_{1}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle MKA_{1}=\frac{\gamma }{2 } [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]MK=MA_{1}[/tex]

Нека [tex]MK[/tex] пресича [tex]BC[/tex] в [tex]M'[/tex] , следователно [tex]M'[/tex] е среда на [tex]BC[/tex] [tex]( MK||AC )[/tex]

Ако [tex]BK\cap CM=R[/tex] , тогава следва , че [tex]RL||BC[/tex] , което се доказва лесно с теорема на Чева или Щайнер.

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{A_{1}C}{A_{1}L}=\frac{BM}{LM}=\frac{CM}{RM }=\frac{BC}{ RL}=\frac{CK}{KL }[/tex] , т.е. [tex]\frac{CK}{KL }=\frac{A_{1}C}{A_{1}L } [/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]C,K,L[/tex] и [tex]A_{1}[/tex] са в хармонично отношение , което доказва , че
[tex]LO,A_{1}H[/tex] и [tex]BC[/tex] се пресичат в [tex]P[/tex] , т.е. [tex]LP\bot BC[/tex].

ПП. задачката ми хрумна докато решавах зад.9 от Мат.2 (СУ 2008).

[martosss]

Като имате ортоцентър и се търси височина през този ортоцентър много пъти е добре да се прави това построение - другата височина. Както виждате може да се спести доста труд.