Конкурсна тема 2

[inimitably]

1. Сумата на първият и петият член на аритметична прогресия е равна на [tex]5[/tex],а произведението на третият и четвъртият и член е равно на [tex]\frac{65}{ 8}[/tex]. Да се намери сумата на първите [tex]17[/tex] члена на прогресията.

2. В успоредника [tex]ABCD[/tex],[tex]\angle BAD=60^\circ ,BD=2\sqrt{31} [/tex] и разстоянието от пресечната точка на диагоналите[tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] до страната [tex]AB[/tex] е равно на [tex]\frac{\sqrt{75} }{ 2}[/tex] . Да се намерят дължините на страните и на диагонала [tex]AC[/tex] на успоредника.

3. Да се реши уравнението [tex]log_{3}(x+6).log_{x}3=2[/tex].

4. Вписаната в правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност се допира до хипотенузата [tex]AB[/tex] в точка [tex]M[/tex] и [tex]AM=5,BM=12[/tex]. Да се намерят дължините на катетите на триъгълника.

5. Да се реши неравенството [tex]\frac{2.4^x}{ 3^x-2^x}\le 3^x[/tex] .

6. Да се намерят най-малката и най-голямата стойности на функцията [tex]f(x)=tgx+cotg2x[/tex] в интервала [tex][\frac{\pi }{6 },\frac{\pi }{ 3}][/tex] .

7. В изпъкналия четириъгълник[tex]ABCD[/tex] е вписана окръжност с радиус [tex]\frac{5\sqrt{5} }{2 }[/tex],която се допира до страните [tex]AB,BC,CD,DA[/tex] съответно в точките [tex]M,N,P,Q[/tex] и [tex]MQ=2PN=5PQ[/tex]. Да се намерят страните на четириъгълника [tex]MNPQ[/tex] , ако около четириъгълника [tex]ABCD[/tex] може да се опише окръжност.

8. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex] ,за които неравенството [tex]1+log_{5}(x^2+1)>log_{5}(ax^2+4x+a)[/tex] е изпълнено за всяко реално число.

9. Да се намерят страните на трапец [tex]ABCD[/tex] с лице [tex]8[/tex] и периметър [tex]4\sqrt{2}+6[/tex], ако сумата на диагоналите му [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] е [tex]8[/tex].

10. Дадена е функцията [tex]f(x)=x^4+2x^3+x-5[/tex]. Да се докаже , че уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има точно два реални корена [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] и [tex]x_{1}<-1,x_{2}>1[/tex].

[Реклама]

[citozol]

Някой да помогне със 9 задача,моля.

[merili]

1. S=119

[NoThanks]

9-та:
[tex]S = \frac{AC.BD}{2}.sin\varphi[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът м/у диагоналите. => [tex]AC.BC = \frac{2S}{\sin \varphi}=\frac{16}{\sin \varphi}[/tex] От друга страна от СА-СГ [tex]AC+BD=8 \ge 2\sqrt{AC.BC} = 2\sqrt{\frac{16}{\sin \varphi}} = 8\sqrt{\frac{1}{\sin \varphi}} \ge 8[/tex] Тогава равенство е възможно само, когато [tex]AC=BD=4[/tex] и трапецът е равнобедрен, а също и ъгълът м/у диагоналите е 90 градуса. Сега като имаме [tex]AB^2+CD^2=2AD^2 \; AB+CD+2AD=4\sqrt{2}+6[/tex] а също и от 2 косинусови теореми в ABD и BCD =>сега от 3тe можем да намерим страните
Едит: по-лесен завършек: през C прекарваме CC1 || BD. Получава се равнобедрен, правоъгълен триъгълник, от който h=(a+b)/2 => S =8 = ((a+b)/2)^2 => [tex]a+b = 4\sqrt{2} \Rightarrow c =3[/tex] => [tex]a^2+b^2 = 18 \; ; a+b =4\sqrt{2} => ab = 7 => a=2\sqrt{2}+1 \; b=2\sqrt{2}-1[/tex], където с а,b,c сме означили AB,CD,AD=BC.

[merili]

2. AB=12, AD=10, AC=2[tex]\sqrt{91}[/tex]

[merili]

3. x=3

[merili]

4. AC=8, BC=15

[_sssss]

[tex]10. \; \normal f''(x)=12x^2 + 12x; \; x=0; \; x=-1[/tex]

[tex]\normal f'(-1)=3; \; f'(0)=1;\; \lim_{x\to \pm\infty }f'(x)=\pm\infty [/tex]

[tex]\normal f'(x)=0[/tex] има един корен, който е по-малък от -1.

[tex]\normal f(x)[/tex] има екстремум(min) преди -1, най-много две нули, и е монотонна в (-1;1)

[tex]\normal f(-1)<0, \; f(1)<0, \; \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty[/tex]

[tex]\normal f(x)=0[/tex] няма карени в (-1; 1), но има точно два извън него, като единият е преди -1, а другият след 1.

PS. Подредих си решението ужасяващо зле.

[naitsirk]

на 8-ма колко получавате?

[werdegang]

Тази тема за кой ВУЗ е

[merili]

5. [tex]x\ge log_{\frac{3}{2 }}2[/tex]

[werdegang]

Зад. 8. :
Неравенството е равносилно на следното: [tex]log_{5} (5x^{2} + 5) > log_{5} (ax^{2} + 4x + a)[/tex] [tex](5-a)x^{2}+ 5 > ax^{2}+ 4x+a[/tex]
Това е възможо само в случая, когато а-5 >0 => а>5 и Д<0 => [tex] a^{2} - 10a +21 >0[/tex] , също така логаритмите имат смисъл при [tex]ax^{2}+4x+a>0[/tex]
А това е изпълнено при а<-2 и а>2, което не оказва влияние върху решението
Окончателно : а>7
ПП: ако по пътя не съм допуснала някоя грешка

[martosss]

[naitsirk]

[_sssss]

И аз (0;2)

8. a>0, за да ДС е за [tex]\normal \forall x[/tex] и D<0 [tex]\leftrightarrow[/tex] a²<4
a(0;2)
Като решим следващото неравенство [tex]\rightarrow[/tex] a<3

В общи линии, werdegang просто е обърнала посоките на неравенствата.

---------------------

А за 10, дали ще може така.

[tex]h(x)=x^3 + 2x +1 [/tex] ---> растяща
[tex]g(x)=\frac{5}{x} \; \; \; [/tex] ---> намаляваща

растяща и намаляваща имат най-много една пресечна точка
x>0
[tex]\normal h(1)=4, \; g(1)=5[/tex]
[tex]\normal h(2)=13, \; g(2)=2.5[/tex]
[tex]\normal h(1)<g(1),\; h(2)>g(2) \Rightarrow[/tex] пресекли са се някъде тук.

x<0
[tex]\normal h(-1)=-2; \; g(-1)=-5[/tex]
[tex]\normal h(-2)=-13; \; g(-2)=-2.5[/tex]
[tex]\normal h(-1)>g(-1), \; h(-2)<g(-2) \Rightarrow[/tex]пак са се пресекли

И повече няма накъде да се пресичат, щото то не е мандра.

[werdegang]

Извинявам се, наистина съм обърнала знака на едно място ... с 2 думи трябва да внимавам повечко

[inimitably]

7.

Нека [tex]\angle ABC=\alpha [/tex] и [tex]O[/tex] е центърът на вписаната окръжност.

Тогава [tex]\angle MON=2\angle MQN=180^\circ -\alpha [/tex]

Аналогично [tex]\angle POQ=2\angle QMP=\alpha[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]PM\bot NQ[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]MQ^2+PN^2=MN^2+QP^2[/tex] [tex](1)[/tex]

Нека [tex]PQ=2x,MQ=10x,PN=5x[/tex] ,тогава от [tex](1)[/tex] имаме [tex]MN=11x[/tex]

Нека [tex]\angle MNQ=\varphi =90^\circ -\angle PMN[/tex] и [tex]\angle MPN=90^\circ -\angle PNQ=\delta [/tex]

[tex]sinT[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]MQ^2+PN^2+MN^2+QP^2=4.(\frac{5\sqrt{5} }{2 })^2sin^2{\varphi}+4.(\frac{5\sqrt{5} }{2 })^2cos^2 \varphi +4.(\frac{5\sqrt{5} }{2 })^2sin^2{\delta}+4.(\frac{5\sqrt{5} }{2 })^2cos^2{\delta}=250=250x^2 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x=1[/tex]

[Wolfyy]

Някой ще разясни ли 8-ма задача малко по-подробно защото не разбрах как получавате
[tex]a\in(0;2)[/tex] ?