Регистрирайте сеРегистрирайте се

Сечение на пирамида


 
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
merili
Начинаещ


Регистриран на: 02 Jan 2009
Мнения: 77
Местожителство: Стара Загора
Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 8:06 am    Заглавие: Сечение на пирамида

Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM с основен ръб AB=[tex]\sqrt{2}[/tex] и околен ръб AM=2. Да се пресметне лицето на сечението на пирамидата с равнината, минаваща през върха B и препендикулярна на ръба DM.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 12:39 pm    Заглавие:

Нека равнината [tex]\lambda[/tex] е перпендикулярна на ръба [tex]DM[/tex]. Тогава [tex]\lambda \cap AM=T, \, \lambda \cap CM=N, \, \lambda \cap DM=K, \, A\in \lambda[/tex], при което [tex]TK\bot DM, \, BK\bot DM, \, NK\bot DM[/tex]. Сечението е четириъгълникът [tex]BTKN[/tex].
По условие [tex]AB=BC=CD=AD=\sqrt{2}, \, AM=BM=CM=DM=2[/tex]. От [tex]\triangle ABD[/tex] намираме [tex]BD=2[/tex], т. е. [tex]BD=DM=BM=2 \Leftrightarrow \angle BDM=\angle DMB=\angle MBD=60^\circ[/tex], или [tex]\triangle BDM[/tex] е равностранен, откъдето точката [tex]K[/tex] е среда на [tex]DM \Rightarrow KD=KM=1[/tex].
За да намерим лицето на сечението [tex]BTKN[/tex], използваме формулата [tex]S=\frac{d_{1}d_{2}}{2} sin\varphi[/tex], където [tex]d_{1}[/tex] и [tex]d_{2}[/tex] са диагоналите на четириъгълника, а [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между тях. Но преди същинското заместване на дължините на тези отсечки трябва да преминем през няколко други етапа. Да построим [tex]MO\bot BD, \, MO \ - \[/tex] височина на пирамидата. Нека също така [tex]BK \cap TN=S[/tex]. Понеже пирамидата е правилна, то центърът на описаната сфера ще лежи на височината на пирамидата и ще е център едновременно и на описаната около [tex]\triangle BDM[/tex] окръжност. Понеже [tex]\triangle BDM[/tex] е равностранен, то [tex]BK \cap MO=S \Rightarrow S\in \lambda[/tex], т. е. трите отсечки [tex]AK, MO, NT[/tex] се пресичат в една точка.
От [tex]TN\in \lambda, \lambda \bot DM \Rightarrow TN\bot DM[/tex], а от [tex]TN\in (ACM), BD\bot (ACM) \Rightarrow TN\bot BD \Rightarrow TN||AC[/tex].
Но [tex]BK\in (BDM) \Rightarrow BK\bot TN[/tex]. В такъв случай ъгълът между [tex]BK=d_{1}[/tex] и [tex]TN=d_{2}[/tex] е прав и лицето на сечението е просто [tex]S_{BTKN}=\frac{d_{1}d_{2}}{2} \, (*)[/tex]. Лесно намираме [tex]BK=\cot 30^\circ \Leftrightarrow BK=\sqrt{3} \, (1)[/tex]. От друга страна, [tex]S[/tex] е медицентър на [tex]\triangle ACM[/tex] (той също е равностранен), откъдето [tex]\frac{MS}{SO}=2[/tex]. Ясно е, че [tex]MO=\sqrt{3}[/tex], тогава [tex]MS=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex]. От [tex]AC||TN \Rightarrow \angle CAM=\angle NTM=60^\circ \Rightarrow \tan 60^\circ=\frac{MS}{ST} \Leftrightarrow ST=\frac{MS}{\tan 60^\circ} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow ST=MS \cot 60^\circ \Leftrightarrow ST=\frac{2}{3} \Rightarrow NT=\frac{4}{3} \, (2)[/tex].
Заместваме [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] в [tex](*)[/tex] и лесно определяме [tex]S_{BTKN}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex].



Перпендикулярно сечение.PNG
 Description:
 Големина на файла:  40.25 KB
 Видяна:  1779 пъти(s)

Перпендикулярно сечение.PNG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.