Московский государственный университет

[Spider Iovkov]

Някои задачи от темите за постъпване в МГУ ми се сториха интересни и затова ги пускам, .

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, 1995 Г., ПРЕДВАРИТЕЛЬНыЙ ЭКЗАМЕН

Задача 1. Да се реши неравенството [tex]\frac{9x+10-9x^2}{\sqrt{9x+10}+3x}\ge 0[/tex].
Задача 2. Намерете всички числа [tex]k[/tex], при които функцията [tex]f(x)=k( sin^2x - 2 cos x -1)[/tex] не приема стойности, по-големи от [tex]3[/tex].
Задача 3. Върху бедрото [tex]AD[/tex] на трапеца [tex]ABCD[/tex] е взета точка [tex]M[/tex], такава, че [tex]AM:DM=3:2[/tex]. На противоположната страна [tex]BC[/tex] е взета точка [tex]N[/tex], такава, че отсечката [tex]MN[/tex] дели трапеца на части, една от които има два пъти по-голямо лице от другата. Определете отношението [tex]CB:BN[/tex], ако [tex]AB:CD=3:2[/tex].
Задача 4. Нека [tex]x_{1}[/tex] е най-големият отрицателен корен на уравнението [tex]4 cos^2 x - 4 sin^2 x =a[/tex], а [tex]x_{2}[/tex] е най-малкият положителен корен на уравнението [tex]\sqrt{3} sin x +3 cos x =1-a[/tex]. Намерете всички стойности на [tex]a[/tex], при които [tex]|x_{1}|\ge x_{2}[/tex].

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ, 2000 Г., МАЙ

Задача 1. Решете неравенството [tex]\log_{4x^2}{x^2} \cdot \log_{8x^4}{x^4} \le 1 [/tex].
Задача 2. Намерете [tex]\frac{sin(\alpha+\gamma) sin(\beta+\gamma)}{cos\gamma cos(\alpha+\beta+\gamma)}[/tex], ако [tex]\frac{sin(\alpha+\gamma) sin(\beta+\gamma)}{cos\alpha cos\beta}=\frac{4}{9}[/tex].

[Реклама]

[merili]

ЗАД.1:

[tex]\frac{(\sqrt{9x+10}+3x)(\sqrt{9x+10}-3x) }{\sqrt{9x+10}+3x } \ge 0[/tex]
[tex]\sqrt{9x+10}-3x \ge 0[/tex]
[tex]\sqrt{9x+10}\ge 3x[/tex]
9x+10[tex]\ge 9x^{2}[/tex]
x[tex]_{1}=-\frac{2}{ 3}; x_{2}=\frac{5}{ 3} [/tex]

DO: x[tex]\ge -\frac{10}{9 }[/tex]

x[tex]_{1,2} \in DO[/tex]

[tex]\sqrt{9x+10}[/tex] +3x [tex]\ne[/tex]0 => x=-[tex]\frac{2}{3 }[/tex] не е реш.
отг. x [tex]\in (-\frac{2}{3 };\frac{5}{ 3} ][/tex]

[estoyanovvd]

Имаш грешка! Открий си я! Нищо, че поправи отговора, пак имаш грешка!

[merili]

А сега

[estoyanovvd]

Пак!

[merili]

x[tex]\in[0;\frac{5}{ 3}] [/tex] ?

[martosss]

аз получавам [tex]x\in \left[-\frac{10}{9}\: ;\: \frac{5}{3}\right)\backslash \left{-\frac{2}{3}\right}[/tex]

[estoyanovvd]

[_sssss]

Задача 4:
(1) [tex]\normal \cos{2x}=\frac{a}{4}[/tex]
(2) [tex]\normal \sin{\( x+\frac{\pi}{3} \)}=\frac{1-a}{2\sqrt{3}}[/tex]

ДС: [tex]\normal a\in[1-2\sqrt{3}; \; 4][/tex]

(1)-> cos2x е симетрична спрямо y и |x₁| в същност е най-малкото положително решение(първата пресечна точка на правата с cos2x)
[tex]\normal c=\frac{a}{4}; \; d=\frac{1-a}{2\sqrt{3}} \; \; \; a++ \, : \, c++, \, d--[/tex]

[tex]\normal \cos{2x}[/tex] и [tex]\normal \sin{\( x+\frac{\pi}{3} \)}[/tex] тук са намаляващи и абсцисите на точките в горния край са по-малки.
[tex]\normal c<d \rightarrow a<\frac{2}{2 + \sqrt{3}}[/tex]

[tex]\normal x_2 \in (0;\ \frac{\pi}{6}) \Rightarrow \; d\ge\frac{\sqrt{3}}{2} \, \Leftrightarrow \, a\le-2[/tex]

[tex]\normal a\le-2 \; : \; c\le-\frac{1}{2} \Rightarrow \, |x_1|\ge \frac{\pi}{3}[/tex]

[tex]\normal a>-2 \; : \; d<\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \, x_2>\frac{2\pi}{3}\, , \; |x_1|<\frac{\pi}{3}[/tex]

Окончателно: [tex]\normal a\in [1-2\sqrt{3}; \, -2][/tex]