Две кубични с по един параметър (руска)

[Spider Iovkov]

Определете всички значения на реалните параметри [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], при които могат да се намерят два различни корена на уравнението
[tex]x^3-5x^2+7x=a[/tex],
такива, че да са корени също и на
[tex]x^3-8x+b=0[/tex].

[Реклама]

[NoThanks]

Нека корените на първото са [tex]x_{1},x_{2},x_{3}[/tex], а на второто [tex]x_{1},x_{2},x_{0}[/tex] От формулите на Виет имаме [tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \; ; x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} = 7 \; ; x_{1}+x_{2}+x_{0} =0 \; x_{1}x_{2}+x_{1}x_{0}+x_{0}x_{2} = -8[/tex] Като извадим почленно намираме [tex]x_{3}-x_{0}=5[/tex] и [tex]x_{1}+x_{2}=3[/tex]. От тук [tex]x_{3}=2 \; x_{0}=-3[/tex]. Т.е едното уравнение 3тия корен на едното уравнение трябва да е 2, а на другото -3. Като заместим намираме [tex]a=2 ; \; b=3[/tex] Остава да проверим дали a=2;b=3 изпълняват условието, което е така => важат!

[Spider Iovkov]

Този начин е правилен, , но има още един, затова ще изчакам още малко.

[estoyanovvd]

[ганка симеонова]

[NoThanks]

Ми нямам идея що така съм решил Тва същност няма никакво отношение към задачата даже

[estoyanovvd]

[martin.nikolov]

Като се говори за корени трябва да се казва къде. Над комплексните числа уравнение от трета степен винаги има три корена, броени с кратности, но над рационалните числа(например) може да има 0 корена. Предполагам, че в задачата се говори за реални числа, но не е написано.

[krainik]

Идея малко по-различна от тази на NoThanks:
Ще използвам неговите означения. Намираме лесно по Виет, че [tex]x_{3}=2,x_{0}=-3[/tex]. Като извадим двете уравнения се получава квадратно с корени [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex]. От него намираме [tex]x_{1}.x_{2}=\frac{a+b}{5}[/tex] и сега от формулите на Виет достигаме до системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}\frac{2(a+b)}{5}=a\\\frac{3(a+b)}{5}=b \end{tabular}[/tex], откъдето намираме [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]

[martin.nikolov]

Ето още един начин. Не знам дали този си имал предвид. Ако двете числа са корени и на двете уравнения, занчи са корени и на разликата им [tex]5x^2-15x+a+b=0[/tex]. Умножашаме второто по 5 и това последното по хикс и ги изваждаме получаваме [tex]15x^2-(40+a+b)x+5b[/tex]. Умножашаме горнот по 3 и ги изваждаме. Получава се [tex](5-a-b)x+2b-3a=0[/tex]. През цялото време двата корена са корени и на междинните стъки, следователно и на последното. Което е линейно и мове да има два корена само ако [tex] 5-a-b=0[/tex] и [tex]2b-3a=0[/tex]. Откъдето намираме а=2, б=3. Проверка въряат работа.

[Spider Iovkov]

Моята идея е подобна на последната, .
Нека [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] са две различни решения на уравнението

[tex]x^3-5x^2+7x=a \, (*)[/tex].

За определеност да считаме [tex]x_{1}>x_{2}[/tex]. Тъй като [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] удовлетворяват [tex](*)[/tex], то

[tex]\begin{array}{||}x_{1}^3-5x_{1}^2+7x_{1}=a \\ x_{2}^3-5x_{2}^2+7x_{2}=a \end{array}[/tex].

От първото уравнение изваждаме второто и получаваме

[tex](x_{1}^3-x_{2}^3)-5(x_{1}^2-x_{2}^2)+7(x_{1}-x_{2})=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})[x_{1}^2+x_{1}x_{2}+x_{2}^2-5(x_{1}+x_{2})+7]=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^2-5(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}+7=0[/tex].

Разглеждаме [tex]x^3-8x+b=0 \, (**)[/tex]. Два от корените на [tex](*)[/tex] удовлетворяват и [tex](**)[/tex]. Тогава абсолютно аналогично намираме

[tex](x_{1}+x_{2})^2-x_{1}x_{2}-8=0[/tex].

В такъв случай [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] удовлетворяват системата

[tex]\begin{array}{||}(x_{1}+x_{2})^2-5(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}+7=0 \\ (x_{1}+x_{2})^2-x_{1}x_{2}-8=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x_{1}+x_{2}=3 \\ x_{1}x_{2}=1 \end{array}[/tex].

Следователно [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] са решения на квадратното уравнение

[tex]x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex],

откъдето, замествайки в [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex], намираме [tex]a=2, b=3[/tex].