 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
ivan5kov
Начинаещ
Регистриран на: 26 Jun 2009
Мнения: 6
 
|
 Пуснато на: Sun Jun 28, 2009 11:37 am Заглавие: Задача на Коши |
|
|
Здравейте!
(x+1)2y"-(x+1)y'+y=-1 ,
y(0)=0 y'(0)=0
a) Да се развие решението и в ред на Маклорен и да се определи радиуса на сходимост на получения ред
б) Да се намери решение на тази задача дифинирано в (-1, +∞)
П.С. Задачата е давана на държавен изпит в СУ - спец. матаматика. В момента се подготвям, но тази ме затруднява. |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sat Jul 25, 2009 1:17 pm Заглавие: Re: Задача на Коши |
|
|
| ivan5kov написа: | Здравейте!
(x+1)2y"-(x+1)y'+y=-1 ,
y(0)=0 y'(0)=0
a) Да се развие решението и в ред на Маклорен и да се определи радиуса на сходимост на получения ред
б) Да се намери решение на тази задача дифинирано в (-1, +∞) |
ЛДУНК -от Ойлеров тип.
Чрез субституцията на горния гений уравнението става ЛДУПК.
Субституцията е:
[tex] x+1=e^{t} \Leftrightarrow t=ln{(x+1)}[/tex]
[tex]y'=\frac{dx}{dy}=\frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt}=\dot{y} .\frac{1}{x+1} [/tex]
[tex]y''=\frac{\ddot{y}-\dot{y}}{(x+1)^2}[/tex]
[tex](x + 1)^2 y'' - (x + 1) y'+ y = -1[/tex] Заместваме
[tex](x + 1)^2 \frac{\ddot{y}-\dot{y}}{(x+1)^2} - (x + 1) \dot{y} .\frac{1}{x+1}+ y = -1[/tex]
[tex]\ddot{y}-\dot{y}-\dot{y} + y = -1[/tex]
[tex]\ddot{y}-2 \dot{y}+ y = -1[/tex]
Характерристично уравнение:
[tex]k^2-2 x+1=0 \Leftrightarrow (k-1).(k-1)=0[/tex]
[tex]y=C_1. e^{t}+C_2.t.e^{t}+\eta[/tex]
Частното решение търсим във вид [tex]\eta=A, \eta'=0,\eta''=0[/tex]
Заместваме в първоначалното уравнение и получаваме:[tex] \eta=-1 \Rightarrow[/tex]
[tex]y=C_1. e^{t}+C_2.t.e^{t}-1[/tex] Връщане на полагането
[tex]y=C_1. e^{ln{(x+1)}}+C_2.ln(x+1).e^{ln(x+1)}-1[/tex]
[tex]y=C_1.(x+1)+C_2.ln(x+1).(x+1)-1[/tex] Сега вече можем да решим задачата на Коши.
От y(0)=0 и y'(0)=0 (условия подходящи задачата да се реши и с трансформация на Лаплас, което аз не правя), намираме [tex]C_1=1, C_2=-1[/tex]
Окончателно търсената функция е:
[tex]y= x - (1 + x).ln(1 + x), DO:x\in (-1,\infty)[/tex]
За да развием функцията в ред намираме първите 3 производни и се вглеждаме в тях.
[tex]y= x - (1 + x).ln(1 + x)[/tex]
[tex]y'=-ln(1 + x)[/tex]
[tex]y''=-\frac{1}{1 + x}[/tex]
[tex]y'''=\frac{1}{(1 + x)^2}[/tex]
Развитие в ред ще направим на втората производна, като идеята е два пъти след това да интегрираме общия член на развитието.
[tex]y''=-\frac{1}{1 + x}=-\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=2}^{\infty}-(-x)^{n-2}[/tex]
Предстои интегриране:
[tex]y'=\int.\sum_{n=2}^{\infty}-(-x)^{n-2}dx=\sum_{n=2}^{\infty}\int.-(-x)^{n-2}dx=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{-(-x)^{n-1}}{n-1}[/tex]
[tex]y=\sum_{n=2}^{\infty}\int_{}^{ } \frac{-(-x)^{n-1}}{n-1}dx=\sum_{n=2}^{\infty } \frac{(-1)^n.x^n}{n.(n-1)} [/tex]
[tex]y= x - (1 + x).ln(1 + x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n.x^n}{n.(n-1)} [/tex] (n-продължих да събирам със стартов номер 2. Първо така въведох сумата на втората производна, а още от задачата на Коши y(0)=0,y'(0)=0. Нали не забравяме, че развитието правим около точката 0).
За радиуса на сходимост [tex]R=\lim_{n\to\infty }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim_{n\to\infty }| \frac{-\frac{(-1)^n x^n}{(n-1) n}}{-\frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}}{n (n+1)}}|=\lim_{n\to\infty }|\frac{n+1}{(1-n)x}|\le 1[/tex]
[tex]R=|-\frac{1}{x}|\le1 \Rightarrow R=1 [/tex]
Последното условие не ми става много ясно, единственото, което остава да се направи с този ред, e да се изследва при x=1 и x=-1
За [tex]x=-1[/tex]
[tex]y(1)=\sum_{2}^{\infty}\frac{1}{n.(1-n)}[/tex] - по Даламбер реда е сходящ
За [tex]x=1[/tex]
[tex]y(-1)=\sum_{2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n.(1-n)}[/tex] - също и тори ред е сходящ
[tex]x\in [-1,1][/tex],все пак -1, трябва да се засече със зададения интервал от условие б [tex] \Rightarrow x\in (-1,1][/tex]
Последната промяна е направена от Flame на Fri Aug 28, 2009 10:14 am; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ivan5kov
Начинаещ
Регистриран на: 26 Jun 2009
Мнения: 6
|
| Пуснато на: Sat Jul 25, 2009 9:02 pm Заглавие: |
|
|
Мерси много!!!  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
d/dx
Начинаещ
Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52
гласове: 2
|
| Пуснато на: Sat Sep 26, 2009 12:11 am Заглавие: |
|
|
Една забележка относно развитието на функцията.
Не е нужно да се смятат разни производни, нито да се прилагат критерии за сходимост.
Достатъчно е да се забележи, че в нейния израз участва ln(1+x), чието развитие е добре известно и да се замести. Разлагането на решението се определя от разлагането на логаритъма, така че очевидно радиусът на сходимост ще бъде 1, без да се прилагат общите формули. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Sat Sep 26, 2009 9:05 am Заглавие: |
|
|
| d/dx написа: | Една забележка относно развитието на функцията.
Не е нужно да се смятат разни производни, нито да се прилагат критерии за сходимост.
Достатъчно е да се забележи, че в нейния израз участва ln(1+x), чието развитие е добре известно и да се замести. Разлагането на решението се определя от разлагането на логаритъма, така че очевидно радиусът на сходимост ще бъде 1, без да се прилагат общите формули. |
Щом непременно държиш да направиш забележка, ОК!
Всъщност, единственото, което твърдиш е, че има по кратко решение, аз не съм твърдял обратното.
Ще кажа само едно, друго си е когато се използват специфичните за доказване на твърдения знания базиращи се на теоремите на корифейте (Даламбер, Коши, Ойлер и други).Дори резултата да е един и същ, тежеста е по-голяма с това, което съм направил.
За изпит нека се използва това, което казваш. Аз съм решавал задача без никакви условия!
ПП Първо мнение във форума да започва със забележка, аз не бих постъпил така! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
d/dx
Начинаещ
Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52
гласове: 2
|
| Пуснато на: Sat Sep 26, 2009 11:13 am Заглавие: |
|
|
| За мен е неясно, защо под думата "забележка" се влага отрицателен смисъл. Самата дума си казва: забележка = нещо за бележка, нещо което дава допълнително сведение, тоест нещо, което в конкретния случай е добре да се има предвид. Не разбирам кое точно поражда тази агресия от твоя страна. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
