Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задачи по Висша Алгебра давани на изпит в СУ

Иди на страница 1, 2  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Висша алгебра(ВА)
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Sun Jun 28, 2009 11:32 am    Заглавие: Задачи по Висша Алгебра давани на изпит в СУ

Някакви насоки как да се решат тези задачи?



Благодаря предварително!



zad.JPG
 Description:
 Големина на файла:  47.63 KB
 Видяна:  6029 пъти(s)

zad.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sun Jun 28, 2009 9:15 pm    Заглавие:

Задачите са елементарни. Единствено трярабва да се знае теорията, не се иска никакво мислене. Единственета насока е прочети си лекциите или учебника.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 10:57 am    Заглавие:

Дано да сте прав ; - )
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 5:50 pm    Заглавие:

martin.nikolov написа:
Задачите са елементарни. Единствено трярабва да се знае теорията, не се иска никакво мислене. Единственета насока е прочети си лекциите или учебника.


Може ли да ми проверите отг на първа задача получвам

G(y) = y3-y2-2y-1
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 6:09 pm    Заглавие:

И аз толкова получавам.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 6:15 pm    Заглавие:

А някакви насоки за


zad3.JPG
 Description:
 Големина на файла:  6.96 KB
 Видяна:  5959 пъти(s)

zad3.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 6:45 pm    Заглавие:

Ако [tex] (x^2+x+1)^2[/tex] дели дадения полином, то [tex] x^2+x+1[/tex] дели производната му. Която е [tex]2x^{n-1}(mx^{2m-n}-n)[/tex]. Очевидно не дели първата част, значи втората. Корените на [tex] x^2+x+1[/tex] са коерени от единицата. Корените [tex]mx^{2m-n}-n[/tex] са корени от n/m. Следователно m=n. Koрените на [tex] x^2+x+1[/tex] са всъщонст трети коерени от единицата. Следователно m трябва да се дели на три.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 8:50 pm    Заглавие:

Благодаря! Това не го разбрах, но ще трябва малко да прочета за ирационалните корени. Искам да попитам за подсказки за зад. 2 б) и 3 б)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 8:58 pm    Заглавие:

borku написа:
Благодаря! Това не го разбрах, но ще трябва малко да прочета за ирационалните корени. Искам да попитам за подсказки за зад. 2 б) и 3 б)


Ами докъде стигаш? Втора е директно от дефиницията на пръстен и поле. Трета иска малко повече но не много.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 9:01 pm    Заглавие:

martin.nikolov написа:
borku написа:
Благодаря! Това не го разбрах, но ще трябва малко да прочета за ирационалните корени. Искам да попитам за подсказки за зад. 2 б) и 3 б)


Ами докъде стигаш? Втора е директно от дефиницията на пръстен и поле. Трета иска малко повече но не много.


Деф: Полето е ком. пръстен, на който всички ненулеви елементи са обратими. ; -)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 9:11 pm    Заглавие:

borku написа:
martin.nikolov написа:
borku написа:
Благодаря! Това не го разбрах, но ще трябва малко да прочета за ирационалните корени. Искам да попитам за подсказки за зад. 2 б) и 3 б)


Ами докъде стигаш? Втора е директно от дефиницията на пръстен и поле. Трета иска малко повече но не много.


Деф: Полето е ком. пръстен, на който всички ненулеви елементи са обратими. ; -)


Именно, от тук следва втората част. Елемента е обратим тогава и само тогаво когато детерминантата му е обратима, в случайя това е равносилно на ненулева. Ако b е нула и a не е то очевидно е обратим. Ако бе не е нула условието е [tex]a^2+2b^2\not=0[/tex] или [tex]\frac{a^2}{b^2}\not = -2[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 10:42 pm    Заглавие:

martin.nikolov написа:
borku написа:
martin.nikolov написа:
borku написа:
Благодаря! Това не го разбрах, но ще трябва малко да прочета за ирационалните корени. Искам да попитам за подсказки за зад. 2 б) и 3 б)


Ами докъде стигаш? Втора е директно от дефиницията на пръстен и поле. Трета иска малко повече но не много.


Деф: Полето е ком. пръстен, на който всички ненулеви елементи са обратими. ; -)


Именно, от тук следва втората част. Елемента е обратим тогава и само тогаво когато детерминантата му е обратима, в случайя това е равносилно на ненулева. Ако b е нула и a не е то очевидно е обратим. Ако бе не е нула условието е [tex]a^2+2b^2\not=0[/tex] или [tex]\frac{a^2}{b^2}\not = -2[/tex].


А това, че при б = 0 а != 0 е обратима не противоречи ли на
Цитат:
тогава и само тогава когато х2 != -2
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 10:48 pm    Заглавие:

borku написа:
martin.nikolov написа:
borku написа:
martin.nikolov написа:
borku написа:
Благодаря! Това не го разбрах, но ще трябва малко да прочета за ирационалните корени. Искам да попитам за подсказки за зад. 2 б) и 3 б)


Ами докъде стигаш? Втора е директно от дефиницията на пръстен и поле. Трета иска малко повече но не много.


Деф: Полето е ком. пръстен, на който всички ненулеви елементи са обратими. ; -)


Именно, от тук следва втората част. Елемента е обратим тогава и само тогаво когато детерминантата му е обратима, в случайя това е равносилно на ненулева. Ако b е нула и a не е то очевидно е обратим. Ако бе не е нула условието е [tex]a^2+2b^2\not=0[/tex] или [tex]\frac{a^2}{b^2}\not = -2[/tex].


А това, че при б = 0 а != 0 е обратима не противоречи ли на
Цитат:
тогава и само тогава когато х2 != -2


Не, не противиречи. Някой елементи може да са винаги обратими, но това няма значение. Пръстена е поле тогава и само тогава когато всички ненулеви елементи са обратими, което е всила тогава и само тогава когато е изпълнено условието на задачата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 10:59 pm    Заглавие:

И едно уточнение за 2 а)

трябва да докажем свойствата:

  1. (a+b)+c = a+(b+c)
  2. a+0 = a
  3. a-a = 0
  4. a+b = b+a
  5. (a.b).c = a.(b.c)
  6. (a+b).c = a.c + b.c
  7. c.(a+b) = c.a + c.b
  8. a.b = b.a // комутативност


и можем да използваме матриците:
[tex]A = \left({\begin{array}{rrrr} a & b \\ -2b & a & \\\end{array}\right)[/tex] [tex]B = \left({\begin{array}{rrrr} c & d \\ -2d & c & \\\end{array}\right)[/tex] [tex]C = \left({\begin{array}{rrrr} e & g \\ -2g & e & \\\end{array}\right)[/tex]

И чрез заместване и пресмятане да доказваме?[list=][/list]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 11:13 pm    Заглавие:

Да, като повечето може да кавеш, че са очевидно вярни защото са вярни за поизволни матрици. Например асоциативноста.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 11:14 pm    Заглавие:

Благодаря много за помощта!

Ако не съм много нахален... нещо за 3 б) ?


И понеже не ми се спи, реших да напиша още две задачки:



zad03.JPG
 Description:
 Големина на файла:  12.08 KB
 Видяна:  5884 пъти(s)

zad03.JPG



untitled.JPG
 Description:
 Големина на файла:  12.7 KB
 Видяна:  5885 пъти(s)

untitled.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
Divided
Начинаещ


Регистриран на: 19 Jun 2009
Мнения: 10


МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 9:22 am    Заглавие:

4-та:
Разделяш си полинома [tex]x^{3}+px+q[/tex] на [tex](x^{2}+1)x[/tex] и получаваш остатък [tex](p-1)x+q[/tex], откъдето [tex]p=-3[/tex]. От [tex]p.q<0 => q>0[/tex]. После обаче какво се прави с това съотношение не съм измислил.

а на първа задача как намерихте решението?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 10:52 am    Заглавие:

Първа задача:

Разписваш си формулите:
  1. [tex] x_1 + x_2 + x_3 = -b/a = 0 [/tex]
  2. [tex] x_1.x_2 + x_2.x_3 + x3.x1 = c/a = 1 [/tex]
  3. [tex] x_1.x_2.x_3 = -d/a = 1[/tex]

Намираш:
[tex] f ( x_{1 } ) = x_{1}^{3} + x_{1} - 1[/tex]
И щом е корен
[tex] x_{1}^{3} + x_{1} - 1 = 0[/tex]
[tex] x_{1}^{3} + x_{1} = 1[/tex]
Заместваш "1" в уравнението
[tex] y_{1} = \frac{ x_{1} } { x_{2} + x_{3} + 1 } [/tex]
[tex] y_{1} = \frac{ x_{1} } { x_{2} + x_{3} + x_{1} + x_{1}^{3}} [/tex]
от уравнение (1) =>
[tex] y_{1} = \frac{ 1 } { x_{1}^{2}} [/tex]
Посъщият начин се намират и:
[tex] y_{2} = \frac{ 1 } { x_{2}^{2}} [/tex]
[tex] y_{3} = \frac{ 1 } { x_{3}^{2}} [/tex]
След това същите формули (1) (2) (3) само че за y
[tex] y_1 + y_2 + y_3 = -b/a[/tex]
[tex] y_1.y_2 + y_2.y_3 + y3.y1 = c/a [/tex]
[tex] y_1.y_2.y_3 = -d/a [/tex]
Получаваш:
[tex] \frac{b}{a} = -1 [/tex]
[tex] \frac{d}{a} = -1 [/tex]
[tex] \frac{c}{a} = -2 [/tex]
Нека а = 1, тогава уравнението е
[tex] g(y) = y^3 - y^2 -2y -1 [/tex]
Това е начина на решаване според мен ; -)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 4:36 pm    Заглавие:

Divided написа:
4-та:
Разделяш си полинома [tex]x^{3}+px+q[/tex] на [tex](x^{2}+1)x[/tex] и получаваш остатък [tex](p-1)x+q[/tex], откъдето [tex]p=-3[/tex]. От [tex]p.q<0 => q>0[/tex]. После обаче какво се прави с това съотношение не съм измислил.

а на първа задача как намерихте решението?


После се изпозва даденото равенсто, за да се намери q.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 4:47 pm    Заглавие:

За 3б), нека [tex]g=ab=a_1b_1[/tex], тогава елемента [tex]aa_1^{-1}=bb_1^{-1}[/tex] принадлежи на двете подгрупи занчи е едентитетета. Следователно [tex]a=a_1, \quad b=b_1[/tex]. За да се докаже, че има такова представяне разглеждаш групата [tex]AB[/tex](че е група следва от подточка а)) и зипозваш условието за броя елементи да докавеш, че това е цялата група.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Divided
Начинаещ


Регистриран на: 19 Jun 2009
Мнения: 10


МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 6:33 pm    Заглавие:

martin.nikolov написа:
Divided написа:
4-та:
Разделяш си полинома [tex]x^{3}+px+q[/tex] на [tex](x^{2}+1)x[/tex] и получаваш остатък [tex](p-1)x+q[/tex], откъдето [tex]p=-3[/tex]. От [tex]p.q<0 => q>0[/tex]. После обаче какво се прави с това съотношение не съм измислил.

а на първа задача как намерихте решението?


После се изпозва даденото равенсто, за да се намери q.

Което е симетричен полином, който трябва да знаем как се използва.. обаче 30 минути седя и гледам как се трансформират някакви х-ове в сигми и въобще не хващам връзка..
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 7:08 pm    Заглавие:

За полиними от малки степени, като този от трета, е по-лесно да не се изпозва общата теория а формулите на Виет и директни сметки.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 7:35 pm    Заглавие:

zad03.JPG под точка б) ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 7:46 pm    Заглавие:

borku написа:
zad03.JPG под точка б) ?


Мислех, че питаш за оригиналната задача 3. За втората задача 3, тази с резултантата. Директно от дефиницията.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 8:00 pm    Заглавие:

Да, но в лекциите не мога да се уриентирам коя е формулата и как точно се употребява ако може някой да я напише Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
Divided
Начинаещ


Регистриран на: 19 Jun 2009
Мнения: 10


МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 8:13 pm    Заглавие:

martin.nikolov написа:
За полиними от малки степени, като този от трета, е по-лесно да не се изпозва общата теория а формулите на Виет и директни сметки.
Мен ми се стори, че с Виет направо стават нечовешки сметки и до никъде няма да се докара..
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
vassillun
Начинаещ


Регистриран на: 01 Jul 2009
Мнения: 1


МнениеПуснато на: Wed Jul 01, 2009 12:28 am    Заглавие:

Имам един въпрос относно 2 б) от първият пост в тази тема. Слагам задачата отново, за да се вижда какво питам.

Според мен трябва да се използва теоремата за хомоморфизъм на пръстени (полета) от матричния вид към [tex](a + \sqrt{-2} b)[/tex]. Изображението е [tex]Z_{p}(\sqrt{-2})[/tex], което е поле.

Как точно се ползва [tex]x^2 \ne -2[/tex]. Може би по някакъв начин за ядрото на изображението?



zad_985.gif
 Description:
 Големина на файла:  27.25 KB
 Видяна:  5701 пъти(s)

zad_985.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Jul 01, 2009 1:59 am    Заглавие:

vassillun написа:
Имам един въпрос относно 2 б) от първият пост в тази тема. Слагам задачата отново, за да се вижда какво питам.

Според мен трябва да се използва теоремата за хомоморфизъм на пръстени (полета) от матричния вид към [tex](a + \sqrt{-2} b)[/tex]. Изображението е [tex]Z_{p}(\sqrt{-2})[/tex], което е поле.

Как точно се ползва [tex]x^2 \ne -2[/tex]. Може би по някакъв начин за ядрото на изображението?


Ако [tex]x^2=-2[/tex] има решение то [tex] \mathbb{Z}_p(\sqrt{-2})=\mathbb{Z}_p[/tex] (тогава и само тогава). Ако това не се случва имаш очевидния изоморфизъм. Ако това се случва то хомоморфизмите са само изображенията от вида [tex]m\rightarrow [/tex]det[tex](m)^n[/tex]. И никой не е изоморфизъм.

Другия начин е да се съобрази, че елемент от този пръстен е обратим само когато детерминатат му е ненулева, което води до това да ли уравнението има решение или не.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
borku
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2007
Мнения: 279
Местожителство: Някъде
Репутация: 24.8Репутация: 24.8
гласове: 2

МнениеПуснато на: Wed Jul 01, 2009 3:17 pm    Заглавие:

martin.nikolov написа:
borku написа:
zad03.JPG под точка б) ?


Мислех, че питаш за оригиналната задача 3. За втората задача 3, тази с резултантата. Директно от дефиницията.


Но корените според дефиницията трябва да са от едно поле. f(x) няма корени в Q, а g(x) има. f(x) и g(x) имат корени в C?

Как се намират корените на g(x) в C?
Какво правим?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя AIM Адрес
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Jul 01, 2009 4:54 pm    Заглавие:

borku написа:
martin.nikolov написа:
borku написа:
zad03.JPG под точка б) ?


Мислех, че питаш за оригиналната задача 3. За втората задача 3, тази с резултантата. Директно от дефиницията.


Но корените според дефиницията трябва да са от едно поле. f(x) няма корени в Q, а g(x) има. f(x) и g(x) имат корени в C?

Как се намират корените на g(x) в C?
Какво правим?


Не нужно да знаеш корените. Може да се изрази чрез коефициентите. Трябва да са ви казвали нещо такова.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Висша алгебра(ВА) Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница 1, 2  Следваща
Страница 1 от 2

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.