Неравенство за степенуване

[dancho]

За кои стойности на параметъра a
а² > (a+1)³

[Реклама]

[SAPOSTO_S_R]

За всички стойности при които a е по-малко от нула.

[ianikia]

Излиза, че неравенството е в сила при а<0?
А ако а=-1/3 се получава 1/9>8/27, което не е вярно

[Infernum]

Представяш неравенството във вида:
а^3+2а^2+3а+1<0.
Означаваш
f(a)=а^3+2а^2+3а+1
намираш:
f'(a)=3а^2+4а+3
Виждаш, че f'(a)>0 за всяко а.
Това означавач че функцията е растящя за всяко а.
С метода на Кардано (Тарталя) намираш
реалния корен на уравнението f(a)=0.
Той е някъде в интервала (-1,0).
Означаваш го с а0.Тогава f(a0)=0.
Понеже f(а) e растяща то ако а<а0 то f(a)<f(a0)=0
И така, всички стойности на реалния параметър а, за които е вярно твоето неравенство са а<а0
заб.
Ако намериш реалния корен отговора на задачата е:
а< -(sqrt(69)/18-11/54)^(1/3)+(sqrt(69)/18-11/54)^(1/3)-2/3

[MuTaKa]

С тоя Кардано е малко сложно.. при положение че имаме кубична функция проверяваме за цели корени по Хорнер. Проверих - няма
Така задачата е трудна, ако се решава чисто алгебрично. И кво прайм аз?? Решавам я аналитично... или графично, както предпочитате. Тъй наречения метод на оценките. Разглеждаме поотделно графиките на двете функции. Чертаеме една координатна система за "а" и "у". Графиката на а^2 е елементарна. Парабула с върха надолу, който се допира до О(ау). Координатите са ясни, можете да си ги сметнете. Кубичната функция (а+1)^3 се нулира само при а=-1. Нанасяме и нейната графика на нашата координатна система. Знаете как изглежда графиката на куб. ф-я. На координатната система ясно се вижда че стойностите на "а", които удовлетворяват неравенството са от -1 наляво. Следва че аЕ(-~;-1].

[Infernum]

Е да, ама това не са всички стойности на параметъра,
за които е изпълнено неравенството.
Без да се решава кубичното уравнение,
решението трябва да бъде такова, каквото съм изложил по-горе.
Освен това правиш грешка в своя графичен метод.
Неравенството е в сила за онези стойности на а, по-малки от абсцисата на пресечната точка на двете графики, която е корен на кубичното уравнение, а не от абсцисата на пресечната точка на графиката на (а+1)^3.

[MuTaKa]

Хм... Възможно е, въпреки че се съмнявам да е дадена задача с отговор като тоя дето си получил.. ше сметна кординатите над абсцисата до пресичането на графиките... предполагам че са равни

[Infernum]

Ми братле, ако представиш неравенството във вида
а^3+2а^2+3а+1<0 и изследваш графиката на f(a)=а^3+2а^2+3а+1,
виждаш, че степента на полинома е нечетна, а производната му е положителна за всяко а.
Значи, когато а клони към -безкраиност,
f(a) също клони към -безкраиност.
Когато а клони към +безкраиност,
f(a) също клони към +безкраиност.
При това f(a) е растяща, значи пресича оста х само веднъж и това става в корена на f(a)=0.
Е за всички стойности на а, по-палки от тоя корен, неравенството е изпълнено.Както забелязваш обаче f(-1)<>0 a f(-1)f(0)<0
значи реалния корен е в този интервал.

[MuTaKa]

Ma, братле, то е ясно че ако от двете функции направиш една няма да стане. Идеята на графичния метод е да определиш в кои интервали стойностите на едната функция по ордината са по малки от стойностите на другата функция. А за това ти трябват двете графики поотделно. Като начертаеш двете графики на една координатна система, ше видиш за какво ти говоря. Начи: виж а^2: а=1, у=1; а=2, у=4; а=3, у=9. Допира се до а=0. Другия клон е симетричен. Сега виж (а+1)^3: а=0, у=1, а=1, у=8; а=2, у=27... и т.н.
Кубичната има инфлексна точка в а=-1. Сега виж нарастванията в интервалите: за а^2 в (0;1) и за (а+1)^3 в (-1;0). Едни и същи са! След това се променят, обаче това не ни грее. Точката на пресичане е в интервала (-1;0). И понеже парабулата е симетрична се забелязва че стойностите до точката на прекъсване са равни! След това графиката на кубичната расте по-бързо и за това не ни касае... щото и стойностите и ше са по-големи.. Ако неравенството беше дадено нестрого - тогава щеше да е свинщина...

[Infernum]

БЪРКАШ СЕ ЯКО!!!
Трябва да помислиш повечко!
Тоя графичен метод куца, правиш грешки.
Прочети предния ми пост по-внимателно.Там на практика съм решил задачата по още един начин, различен от първоначалния.
Вярно е, че a<-1 е решение на неравенството, но има и други стойности на а, попадащи в интервала [-1,a0), за които неравенството е изпълнено, (за а0 е в сила f(a0)=0 и -1<а0<0 от f(-1)f(0)<0 и теоремата на Вайерщрас).
Така че решението на неравенството е интервала а<а0.

[Infernum]

[jns000]

Zadachata ima mnogo hubavo reshenie s proizvodni ,kato ne se setite ,shte vi go napisha

[Infernum]

Че напиши го, ако е по различно от изброените решения с производни, в което се съмнявам.....

[M_Velinova]

Здравейте!

Вчера видях, че доста е дискутирано по тази задача и седнах да я решавам.

Всички изследвания, за които става въпрос определят изменението на функцията f(a)=a^3+2*a^2+3*a+1.

С намиране на първата производна само се прави извода, че функцията е растяща за всяко а.
При а=0, f(а)=1, при а=-1, f(a)=-1.

Задачата е 'намерете решенията на неравенството'.
Затова мисля, че най-естествения, а може би единствен начин е предложеният от Infernum с формулата на Кардано.
От формулата се вижда, че уравнението има само едно реално решение, а другите 2 решения са спрегнати комплексни числа.