JBMO 2009 3зад.

[krainik]

Нека [tex]0<x,y,z<1[/tex] са реални числа, изпълняващи [tex]xyz=(1-x)(1-y)(1-z)[/tex]. Да се докаже, че поне едно от числата [tex](1-x)y,(1-y)z,(1-z)x[/tex] е по-голямо или равно на [tex]\frac{1}{4}[/tex].
ПП Нека да бъдат пускани решения на ученици от 5-8 клас.

[Реклама]

[mousehack]

Достатъчно е да докажем,че [tex]xyz\le\frac{1}{8}[/tex]
Нека предположим,че [tex](1-x)y,(1-y)z,(1-z)x <\frac{1}{ 4} [/tex]
[tex] => (1-x)y+(1-y)z+( 1-z)x = x+y+z-xy-yz-zx <\frac{3}{4 } [/tex]
Но [tex]xyz = (1-x)(1-y)(1-z)[/tex]
[tex]xyz = 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz[/tex]
[tex] => 2xyz=1-x+y+z-xy-yz-zx[/tex]
Тогава [tex]xyz >\frac{1}{8}[/tex] ,което не е вярно,защото [tex]x^{2}y^{2}z^{2}= x(1-x)y(1-y)z(1-z)\le (\frac{1}{4})^{3}=\frac{1}{64}[/tex]