JBMO 2009 2зад.

[krainik]

Да се реши в неотрицателни цели числа:
[tex]2^a.3^b+9=c^2[/tex]
ПП Отново ще помоля да се пускат решения само от хора 5-8 клас.

[Реклама]

[mousehack]

[tex]2^a.3^b+3^2=c^2[/tex]
[tex]1) b=0 => 2^a=(c-3)(c+3) [/tex]
Нека [tex] 2^x=c-3 , 2^y=c+3 ,x<y ,x+y=a[/tex]
[tex] 2^y-2^x=6 => 2^x(2^{y-x}-1)=6 => x=1,y=3 => (a,b,c)=(4,0,5)[/tex]

[tex]2) b\ge 1 => c=3k => b\ge 2[/tex]
[tex]2^a.3^b+3^2=(3k)^2 /:3^2[/tex]
[tex]2^a.3^{b-2}=(k-1)(k+1)[/tex]
[tex]I) a=0 => k-1=3^x,k+1=3^y ,x<y,x+y=b-2 => 3^x(3^{y-x}-1)=2 => x=0 ,y=1 => (a,b,c)=(0,3,6)[/tex]
[tex]II) a\ge 1 => (k-1)(k+1)[/tex] трябва да е четно [tex] => k=2q+1 => 2^{a-2}.3^{b-2}=q(q+1) , (q,q+1)=1 => q=2^{a-2} ,q+1=3^{b-2}[/tex] или [tex] q=3^{b-2} ,q+1=2^{a-2}[/tex]
[tex] => 2^{a-2}-3^{b-2}=\pm 1[/tex]
[tex] a) 2^{a-2}-3^{b-2}=1 => (a,b,c)=(3,2,9) [/tex] и [tex](a,b,c)=(4,3,21)[/tex]
[tex] b) 2^{a-2}-3^{b-2}=-1 => (a,b,c)=(3,3,15)[/tex] и [tex] (a,b,c)=(4,5,51)[/tex]