x+y+z=0

[_sssss]

[tex]a, \; b, \; c[/tex] са положителни реални числа.

[tex]log_{a}b + log_{b}c + log_{c}a = 0[/tex]

[tex](\ log_{a}b \)^{3} + (\ log_{b}c \)^{3} + (\ log_{c}a \)^{3}=?[/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]\log_{a}b=-(\log_{b}c+\log_{c}a)[/tex]
[tex](\log_{a}b)^3=[-(\log_{b}c+\log_{c}a)]^3=-(\log_{b}c+\log_{c}a)^3[/tex]
Използвайки формулата за трета степен, имаме
[tex]-(\log_{b}^3c+3\log_{b}^2c\log_{c}a+3\log_{b}c\log_{c}^2a+\log_{c}^3a)[/tex], откъдето
[tex]-\log_{b}^3c-3\log_{b}^2c\log_{c}a-3\log_{b}c\log_{c}^2a-\log_{c}^3a+\log_{b}^3c+\log_{c}^3a=[/tex]
[tex]=-3\log_{b}^2c\log_{c}a-3\log_{b}c\log_{c}^2a=-3\log_{b}c\log_{c}a(\log_{b}c+\log_{c}a)[/tex].
Оттук лесно намираме [tex]3\log_{b}c\log_{c}a\log_{a}b=3\log_{b}a\log_{a}b=3\log_{b}a.\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a}=3[/tex].

[krainik]

Използвайки тъждеството [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)[/tex] следва, че [tex](log_{a}b)^3+(log_{b}c)^3+(log_{c}a)^3=3log_{a}b.log_{b}c.log_{c}a=3[/tex]