sin, cos, f'(x)

[_sssss]

[tex]f(x)=sin^6 (\ \frac{x}{4} \) + cos^6 (\ \frac{x}{4} \)[/tex]

[tex]f^{\small (2008)} \large (0)=?[/tex]

PS. Търсим 2008-та производна при x=0.

[Реклама]

[NoThanks]

f(x) може да се опрости до [tex]f(x) = 1 - \frac{3sin^2x}{16}[/tex]
Тогава [tex]f'(x) = -\frac{3sin2x}{16}[/tex] [tex]f"(x) = \frac{-3cos2x}{8} \; f"'(x)=\frac{3sin2x}{4}[/tex] и тн. Като си ги поразпишем още малко става ясно, че четните номера производни имат отрицателен знак и cos2x като множител. Другия множител е 3.2^(степен). Започваме от 3.2^(-4) и 2008 пъти умножаваме по 2. Откъде следва, че 2008-мата производна е = [tex]-3.2^{2004}cos2x[/tex] и [tex]f^{2008}(0) = -3.2^{2004}[/tex]
А иначе има и разни други оферти, чрез които можем да си намерим която си искаме производна на произоволни функции, но за такава със синуси нямам идея как ще стане

[martin.nikolov]