Ъгли

[NoThanks]

Нека ъглите на триъгълник [tex]A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] са [tex]\alpha ; \beta ; \gamma[/tex]. Нека триъгълник [tex]A_{2}B_{2}C_{2}[/tex] е триъгълникът, образуван от допирните точки на вписаната в [tex]A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] окръжност със страните на триъгълника. Нека [tex]A_{3}B_{3}C_{3}[/tex] е триъгълникът образуван от допирните точки на вписаната в [tex]A_{2}B_{2}C_{2}[/tex] окръжност със страните на 3ъгълника и т.н. Да се намерят ъглите на триъгълника [tex]A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}[/tex]

[Реклама]

[martosss]

оф тия ъгли трябва някаква зависимост да се открие между тях и с индукция да се направи, ама тази зависимост още не мога да я измисля

[ганка симеонова]

[tex]\angle A_{n+1}=\frac{2^{n-1}-2^{n-2}+2^{n-3}+...+(-1)^{(n-1)}}{ 2^{n-1}}.90^\circ +(-1)^{n}\frac{\alpha }{2^n } [/tex]

Всъщност, като се вгледах, числителят на първата дроб е сума на геометрична прогресия на n члена, с [tex]a_1=2^{n-1}; q=-\frac{1}{ 2} [/tex] и може да се преобразува с формулата за сума.

[martin.nikolov]

[ганка симеонова]

Всеки ъгъл зависи само от един , но може да съм оплескала някъде нещо.

[martin.nikolov]

[martosss]

би трябвало да е [tex]\angle B_{n+1}A_{n+1}C_{n+1}=60^\circ+(-2)^{-n}(\alp-30^\circ )[/tex] и другите аналогично.

[NoThanks]

По принцип нямам официално решение, но лично аз получавам за ъгъла на мартос [tex](-\frac{1}{2})^n(\alpha-60) + 60[/tex] тоест същото само, че с 60 вместо 30 Иначе има съвсем дупарски начин, без почти никакви преобразувания & stuff

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

[NoThanks]

Взимаме първия триъгълник. Неговите ъгли са: [tex]\alpha \; ; \beta \; ; \gamma[/tex] Взимаме втория триъгълник. Неговите ъгли са: [tex]90-\frac{\alpha}{2} \; ; 90-\frac{\beta}{2} \; ; \frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]
Взимаме третия триъгълник. Неговите ъгли са: [tex]45+\frac{\beta}{4}\; ; 90-\frac{\alpha+\beta}{4} \; ; 45+\frac{\alpha}{4}[/tex]. Разглеждаме [tex]\alpha[/tex] и [tex]90-\frac{\alpha}{2}[/tex]. От тук все едно имаме [tex]a_{1}=\alpha \; a_{2}=90-\frac{\alpha}{2}=d-q \alpha \Rightarrow d=90 \; q = -\frac{1}{2}[/tex]. От тук изказваме предположението, ъглите образуват аритметико-геометрична прогресия. Остава да проверим [tex]a_{3} = qa_{2}+d[/tex]. След заместване на [tex]a_{2}[/tex] и [tex]a_{3}=45+\frac{\alpha}{4}[/tex]. Излиза, че е вярно. Тогава редицата действително е аритметико - геометрична прогресия и имаме [tex]a_{n+1}=q^n(a_{1} + \frac{d}{q-1}) + \frac{d}{1-q}[/tex] с [tex]q=-\frac{1}{2} ; a_{1}=\alpha[/tex]. [tex]d=90[/tex]

[ганка симеонова]

[NoThanks]

[martosss]

явно тази геом. прогресия съм и оплескал сумата Отговорът на No Thanks би трябвалода е верен