Тригонометрия::неравенство, да се докаже

[NetGh0st]

Ако за x се знае, че 0<x< [tex]\frac{pi}{2} [/tex]

Да се докаже, че [tex]\frac{pi}{2} [/tex] < [tex]\frac{x}{ sinx} + \frac{x}{ tgx}[/tex] < 2

[Реклама]

[mkmarinov]

[tex]f(x)=\frac{x}{sinx}+\frac{x}{tgx}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{sinx-xcosx}{sin^2x}+\frac{tgx-\frac{x}{cos^2x}}{tg^2x}=\frac{sinx-xcosx}{sin^2x}+\frac{(tgx-\frac{x}{cos^2x})cos^2x}{sin^2x}=\frac{sinx-xcosx+cos^2x.tgx-x}{sin^2x}=\frac{sinx+sinxcosx-xcosx-x}{sin^2x}=\\=\frac{(sinx-x)(cosx+1)}{sin^2x}<0[/tex], т.е. функцията е монотонно намаляваща (т.к. за дадените стойности на х x>sinx).
Остава само да проверим за "краищата" на интервала - ако при тях е спазено, ще е спазено и в другите части.
[tex]\lim_{x\to\ \frac{\pi}{2}}\frac{x}{sinx}+x.cotgx=\frac{\pi}{2}+0=\frac{\pi}{2}[/tex] - едната граница.
[tex]\lim_{x\to\0}\frac{x}{sinx}+\frac{x}{tgx}=\lim_{x\to\0}\frac{x}{sinx}+\lim_{x\to\0}cosx\frac{x}{sinx}=2[/tex] - другата граница.
=> условието е изпълнено.

[NoThanks]

Означаваш израза по средата с [tex]f(x)[/tex]. Тогава [tex]f'(x) = \frac{sinx+sinxcosx-x-xcosx}{sin^2x}[/tex]. Сега от факта, че при x>0 е изпълнено x>sinx. Имаме, че f'(x)<0 т.е f(x) винаги е намаляваща. От тук следва, че НГС е [tex]f(x->0) = 1+cosx <2[/tex]. А НМС е f(x->pi/2) = pi/2. Което и искахме да докажем.

[_sssss]

[tex]f(x)=\frac{x(1+cosx)}{sinx}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0}f(x)=1+cosx=2 \\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}=\frac{\frac{\pi}{2}(1 - 0)}{1}=\frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{x(1+cosx)}{sinx}=xcotg{\frac{x}{2}} \\ f'(x)=cotg {\frac{x}{2}} - \frac{x}{2\sin^2 {\frac{x}{2}}}=\frac{\sin{x} - x}{2\sin^2 {\frac{x}{2}}}[/tex]

[tex]\normal \sin{x}-x<0 \Leftrightarrow x>0[/tex]

Функцията е монотонна в [tex]\normal (0;+\infty) \Rightarrow \frac{\pi}{2}\le f(x) \le 2[/tex]

Edit: олеле, 3 решения едновременно.

[NetGh0st]

Браво и на 3мата! Акъла ми не го побира как успявате за 0 време в 12 часа да решавате толкоз успешно ...