Регистрирайте сеРегистрирайте се

Сечение на куб (УАСГ, 2003 г.)


 
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Jun 25, 2009 1:58 pm    Заглавие: Сечение на куб (УАСГ, 2003 г.)

Даден е куб [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] с ръб [tex]a[/tex]. През върха [tex]B[/tex], средата [tex]M[/tex] на ръба [tex]AD[/tex] и средата [tex]N[/tex] на ръба [tex]CC_{1}[/tex] е прекарана равнина [tex]\lambda[/tex], която пресича ръба [tex]DD_{1}[/tex] в точката [tex]P[/tex]:
(а) да се намери лицето на сечението;
(б) да се намери косинусът на ъгъла между правите [tex]B_{1}D_{1}[/tex] и [tex]MP[/tex];
(в) да се намери разстоянието от точката [tex]C[/tex] до равнината [tex]\lambda[/tex].



Сечение.PNG
 Description:
 Големина на файла:  32.21 KB
 Видяна:  1744 пъти(s)

Сечение.PNG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
merili
Начинаещ


Регистриран на: 02 Jan 2009
Мнения: 77
Местожителство: Стара Загора
Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Jun 26, 2009 9:18 am    Заглавие:

(a)

(ADA[tex]_{1}[/tex]D[tex]_{1}[/tex]) || (BCC[tex]_{1}[/tex]B[tex]_{1}[/tex])=>
MP||BN=> Сечението BNPM е трапец.
S[tex]_{BNPM}[/tex]= [tex]\frac{BN+MP}{2 }[/tex].h

▲BCN: Пит. т-ма: BN=[tex]\frac{a.\sqrt{5} }{2 } [/tex].
▲AMB[tex]\cong [/tex] ▲DMK => DK=AB=a.
▲KCN: KD=DC=a; PD||NC=>PD-ср. отс. =>PD=[tex]\frac{a}{4 }[/tex]
▲MDP:Пит. т-ма: MP=[tex]\frac{a\sqrt{5} }{4 }[/tex] .

Постр. височините MH и PL в тр. BNPM:
Нека LN=x =>BH=BN-LN-HL=[tex]\frac{a\sqrt{5}-4x }{4 }[/tex]
Изразяваме височините чрез x и a, и после ги приравняваме..
S=[tex]\frac{3a^{2}\sqrt{21} }{16 }[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Mon Aug 17, 2009 10:58 am    Заглавие:

Ще пусна решенията и на другите условия, понеже темата остана недовършена.

(a) [tex]BNPM[/tex] се превръща в [tex]BCDM[/tex] при ортогонално проектиране, тогава [tex]S_{BCDM}=S_{BNPM} cos\varphi[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между равнините [tex]BNPM[/tex] и [tex]BCDM[/tex]. Построяваме [tex]NT\bot BM, \, NT[/tex] става [tex]CT \Rightarrow CT\bot BM \Rightarrow \angle CTN=\varphi[/tex].
Построяваме диагонала [tex]BD[/tex]. Тогава [tex]S_{BCDM}=S_{\triangle BDM}+S_{\triangle BCD}[/tex]. Имаме [tex]S_{\triangle BCD}=\frac{a^2}{2} \, (1)[/tex]. По Питагоровата теорема от [tex]\triangle ABM[/tex] намираме [tex]BM=\frac{a}{2}\sqrt{5}[/tex].
Нека [tex]\angle AMB=\beta \Rightarrow \angle BMD=180^\circ-\beta[/tex]. Имаме [tex]sin\beta=\frac{AB}{BM} \Leftrightarrow sin\beta=\frac{2\sqrt{5}}{5} \Rightarrow sin(180^\circ-\beta)=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]. В такъв случай лесно определяме [tex]S_{\triangle BDM}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\frac{a}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{5}}{5} \Leftrightarrow S_{\triangle BDM}=\frac{a^2}{4} \, (2)[/tex]. От [tex](1)[/tex] и [tex](2) \Rightarrow S_{BCDM}=\frac{3a^2}{4} \, (*)[/tex].
Очевидно [tex]BM=CM=\frac{a}{2}\sqrt{5}[/tex]. Нека [tex]MH\bot BC \Rightarrow MH=a[/tex]. От [tex]\triangle BCM \Rightarrow BC.MH=BM.CT \Leftrightarrow CT=\frac{2a\sqrt{5}}{5}[/tex]. Сега от [tex]\triangle TCN \Rightarrow TC^2+CN^2=TN^2 \Leftrightarrow (\frac{2a\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{a}{2})^2=TN^2 \Leftrightarrow TN=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{21}{5}} \Rightarrow cos\varphi=\frac{TC}{TN} \Leftrightarrow cos\varphi=\frac{4}{\sqrt{21}} \, (**)[/tex].
От [tex](*)[/tex] и [tex](**) \Rightarrow S_{BNPM}=\frac{S_{BCDM}}{cos\varphi} \Leftrightarrow S_{BNPM}=\frac{3a^2\sqrt{21}}{16}[/tex].

(б) [tex]B_{1}D_{1}||BD, (ADD_{1}A_{1})||(BCC_{1}B_{1}), MP\in (ADD_{1}A_{1}), BN\in (BCC_{1}B_{1}) \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow MP||BN \Rightarrow cos\gamma = cos\angle (BD, BN), \angle NBD=\gamma[/tex]. От Питагоровата теорема за [tex]\triangle DCN \Rightarrow DN^2=\frac{5a^2}{4}[/tex], а от косинусовата за [tex]\triangle BDN \ - \ DN^2=BD^2+BN^2-2.BD.BN. cos\gamma \Leftrightarrow \frac{5a^2}{4}=2a^2+\frac{5a^2}{4}-2a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2} cos\gamma \Leftrightarrow cos\gamma = \frac{\sqrt{10}}{5}[/tex].

(в) Построяваме [tex]CK\bot TN[/tex] и очевидно това е търсеното разстояние. Имаме [tex]CT.CN=CK.TN \Leftrightarrow \frac{2a\sqrt{5}}{5}.\frac{a}{2}=CK.\frac{a}{2}\sqrt{\frac{21}{5}} \Leftrightarrow CK=\frac{2a}{\sqrt{21}}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.