Регистрирайте сеРегистрирайте се

Вписана окръжност, допираща се до средна отсечка


 
   Форум за математика Форуми -> Окръжности
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Jun 25, 2009 1:46 pm    Заглавие: Вписана окръжност, допираща се до средна отсечка

В [tex]\triangle ABC[/tex] е вписана окръжност с радиус [tex]r=1[/tex], която се допира и до средната отсечка [tex]MN[/tex], [tex]MN||AC[/tex]. Ако [tex]cos\beta=\frac{4}{5}[/tex], намерете [tex]AC[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Tinna
Редовен


Регистриран на: 13 Apr 2009
Мнения: 231

Репутация: 32.9Репутация: 32.9Репутация: 32.9
гласове: 19

МнениеПуснато на: Fri Jun 26, 2009 8:08 am    Заглавие:

При стандартните означения ще докажем, че р=2в.
Нека М- среда на АВ, N- среда на ВС, а вписаната окръжъност се допира до АВ, ВС и МN съответно в точките Q, P, T.

І начин.
[tex]\Delta MNP\sim ACB , k=\frac{1}{ 2}=>P(\Delta MNP)=\frac{1}{2 }P(ABC)=p[/tex]
[tex]BP=BQ=p-b[/tex]
[tex]P(\Delta MNP)=BP+BQ=2(p-b)=>p=2(p-b)=>p=2b[/tex]

ІІ начин.
[tex]\Delta MNP\sim ACB , k=\frac{1}{ 2}[/tex]=>Височината на [tex]P(\Delta MNP)[/tex] през в. В е [tex]\frac{1}{ 2} [/tex] от височината на [tex]P(\Delta ABC)[/tex] през в. В
[tex]h=\frac{1}{ 2}(h+2r) =>h=2[/tex]=>[tex] h_{b} =4 [/tex]
S(ABC)=pr
S(ABC)=[tex]\frac{1}{2 }bh_{b}=>p.1=\frac{1}{ 2}b.4=>p=2b [/tex]

[tex]\Delta OQB: \frac{BQ}{ r}=cotg\frac{\beta }{ 2}[/tex]
[tex]cotg\frac{\beta }{ 2}=\sqrt[]{\frac{1+cos\beta }{1-cos\beta } } =3 [/tex]
[tex]BP=p-b=2b-b=b= 3 [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Jun 26, 2009 8:31 am    Заглавие:

Тина, с този котангенс изглежда много елегантно, Razz . Аз го направих малко по-различно. Нека [tex]O[/tex] е център на вписаната окръжност, [tex]MN||AC, MN=\frac{AC}{2}, M\in AB, N\in BC[/tex] и [tex]OK\bot AB, OT\bot BC, OS\bot AC[/tex]. Използвайки формулата [tex]cos2\beta = cos^2\beta - sin^2\beta = 2 cos^2\beta - 1 = 1 - 2 sin^2\beta[/tex], от правоъгълния [tex]\triangle BOK[/tex] лесно намираме [tex]BK=3 \Rightarrow BT=3[/tex]. Ако [tex]AK=AS=x, CT=CS=y[/tex], то [tex]AB=3+x, BC=3+y, AC=x+y[/tex] и от косинусовата теорема [tex]AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC cos\angle ABC \Leftrightarrow (x+y)^2=(3+x)^2+(3+y)^2-2(3+x)(3+y)\frac{4}{5} \, (*)[/tex].
[tex]AMNC \ - \[/tex] описан, [tex]\Rightarrow AM+NC=AC+MN \Leftrightarrow x+y=3 \, (**)[/tex].
От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] лесно намираме [tex]y=\frac{6}{7} \Rightarrow x=\frac{15}{7} \Rightarrow AC=3[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Окръжности Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.