Триъгълник*

[ганка симеонова]

Нека Р е центърът на вписаната в[tex] \Delta ABC [/tex] окръжност.
Ако [tex]AB=6; \angle ACB=120^\circ ; \frac{S_{APB}}{S_{ABC} } =2\sqrt{3} -3 [/tex], да се намери [tex]S_{ABC} [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

[tex]\frac{S_{APB}}{S_{ABC}}=\frac{PP_{1}}{CH}=\frac{y}{y+p-12}=2\sqrt{3}-3[/tex]. AP-ъглопол => [tex]\frac{y}{2p-12}=\frac{x}{b} => y=\frac{x(2p-12)}{b} \; CC_{1}=\frac{(2p-12)(b+x)}{b} => \frac{PP_{1}}{CH}=\frac{x}{b+x}=2\sqrt{3}-3 => x=\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex] => AC1=[tex]\frac{b\sqrt{3}}{2} \; C1B=\frac{12-b\sqrt{3}}{2} \; AC1/C1B = b/BC => BC = 4\sqrt{3}-b[/tex] Сега от косинусова теорема [tex]b=2\sqrt{3} \; S = 3\sqrt{3}[/tex]

[ros4e]

Ако страните на ABC са x,y,6 и r- рад. на вписаната в него окр...
S_APB=S_ABC2√3-3
S_APB = 3r
S_ABC =[tex]\frac{xy\sqrt{3}}{4}[/tex] =[tex]\frac{6+x+y}{2}[/tex]r
От косинусова за ABC : 36=x²+y²+xy= (x+y)²-xy
ооооф, май не стана... трябва да изразя x+y и xy, обаче се получават едни смееетки.......едни корени....май ще чакам някой друг да я реши

[ros4e]

ооо, и даже я решили хората, докато аз се моткам

[ганка симеонова]

Нпротив, росче, на прав път си
Ето и друго решение. Направи отношенията на лицата.
[tex]\frac{6r}{(a+b+6)r } =2\sqrt{3} -3 [/tex]=>[tex]a+b=4\sqrt{3} =>[/tex]
Замествайки в кос. т-ма получаваме [tex]ab=12=>S=\frac{1}{2 } ab\frac{\sqrt{3} }{ 2} =3\sqrt{3} [/tex]

[martosss]

Ето го и моето решение:
[tex]\frac{S_{ABC}}{S_{APC}}=\frac{S_{APC}+S_{ABP}+S_{BPC}}{S_{ABP}}=\frac{AC}{AB}+1+\frac{BC}{AB}=\frac{AC+BC}{6}+1=\frac{1}{2\sqrt 3-3}=\frac{2\sqrt 3 +3}{3}\Right AC+BC=4\sqrt 3[/tex].
Сега повдигаме на квадрат:
[tex](AC+BC)^2=48[/tex]
И кос. теорема за АВС:
[tex]AC^2+BC^2+ab=36[/tex].
Оттук [tex]AC*BC=12\Right S=\frac{12*sin120^\circ}{2}=6*\frac{\sqrt 3}{2}=3\sqrt 3[/tex]

[Spider Iovkov]

Вчера нетът се прецака, вероятно заради дъжда и гръмотевиците, и връзката се разпадна, докато пишех решение, , но сега държа да го пусна (поне да има полза от писането).
Нека да означим допирните точки на вписаната окръжност със страните [tex]AB, BC, AC[/tex] съответно с [tex]K, S, T[/tex].
От косинусовата теорема [tex]\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab cos 120^\circ \Leftrightarrow c^2=a^2+b^2+\cancel 2ab.\frac{1}{\cancel 2} \Leftrightarrow c^2=a^2+b^2+ab \Leftrightarrow (a+b)^2-ab=36 \, (*)[/tex].
Да разгледаме даденото в условието отношение, имаме:
[tex]\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{ABr}{2}:\frac{AC.BC}{2} sin 120^\circ = \frac{ABr}{\cancel 2}.\frac{\cancel 2}{AC.BC sin 120^\circ}=\frac{ABr}{AC.BC \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2.6r}{AC.BC\sqrt{3}}=\frac{12r}{ab\sqrt{3}}[/tex],
където използваме стандартни означения [tex]BC=a, AC=b, AB=c[/tex]. Оттук [tex]\frac{12r}{ab\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3 \, (1)[/tex].
Нека [tex]CT=CS=p-c=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}[/tex]. Тогава, от [tex]\angle TPC=30^\circ \Rightarrow PC=2CT \Rightarrow PT=r=(p-c)\sqrt{3}=\frac{a+b-c}{2}\sqrt{3}[/tex]. Замествайки това в [tex](1)[/tex], достигаме до [tex]6(a+b-6)=ab(2\sqrt{3}-3) \, (**)[/tex] (тук сме отчели, че [tex]c=6[/tex]).
От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] достигаме до системата уравнения
[tex]\begin{array}{||}(a+b)^2-ab=36 \\ 6(a+b-6)=ab(2\sqrt{3}-3) \end{array}[/tex].
Ще решим тази система с полагане. Да въведем [tex]a+b=u, ab=v[/tex]. В такъв случай лесно намираме
[tex]\begin{array}{||}u^2-v=36 \\ 6(u-6)=v(2\sqrt{3}-3) \end{array} \Rightarrow v=u^2-36 \Rightarrow 6(u-6)=(u+6)(u-6)(2\sqrt{3}-3) \Leftrightarrow (u+6)(2\sqrt{3}-3)=6[/tex].
Преобразуваме последното:
[tex]u+6=\frac{6}{2\sqrt{3}-3} \Leftrightarrow u=\frac{6}{2\sqrt{3}-3}-6 \Leftrightarrow u=4\sqrt{3} \Rightarrow v=(4\sqrt{3})^2-36 \Leftrightarrow v=48-36 \Leftrightarrow v=12 \Leftrightarrow ab=12[/tex].
От формулата [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2} sin 120^\circ[/tex] определяме и лицето: [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{12}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC}=3\sqrt{3}[/tex].