Триъгълник

[ганка симеонова]

За страните а,b,c на [tex]\Delta ABC [/tex] е в сила [tex]c^2=3(b^2-a^2) [/tex]
a) Да се докаже, че ъглите при А и В са остри.
б) Ако CD е височината към АВ, да се докаже, че [tex]S_{ADC}=2S_{BDC} [/tex]

[Реклама]

[_sssss]

[tex]a) \; \normal 3b^2 - 3a^2>0 \Rightarrow b>a[/tex]
[tex]\normal a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = \frac{2(b^2 - a^2)}{bc} \\ cos\alpha > 0[/tex]
[tex]\normal b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta \Leftrightarrow \cos\beta = \frac{b^2 - a^2}{ac} \\ cos\beta > 0[/tex]

[tex]b) \; \frac{S_{ADC}}{S_{BDC}}=\frac{CDb\sin{(90^\circ -\alpha)}}{CDa\sin{(90^\circ -\beta)}}=\frac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}=\frac{2b(b^2 - a^2)ac}{a(b^2 - a^2)bc}=2[/tex]

Първоначално доказах, че [tex]\cos\gamma < 0[/tex], което е достатъчно за a), но така или иначе трябваше да разпиша [tex]\cos\alpha[/tex] и [tex]\cos\beta[/tex] за подточка б).