Успоредник

[ганка симеонова]

Ддаен е успоредник ABCD с лице S и диагонали [tex]AC=d_1; BD=d_2 [/tex], които се пресичат в точка О.
Нека ъглополовящите на ъглите при О пресичат страните AB, BC, CD, AD съответно в точките K,L,M,N. Да се намери лицето на четириъгълника KLMN.

[Реклама]

[inimitably]

Лесно се доказва , че [tex]KLMN[/tex] е ромб. Тогава нека [tex]\angle BOK=\alpha [/tex]

Ще използваме , че [tex]OK=\frac{d_{1}+d_{2}}{d_{1}.d_{2} }.cos{\alpha [/tex] , тъй като е ъглополовяща.

Аналогично [tex]OL=\frac{d_{1}+d_{2}}{d_{1}.d_{2} }.sin{\alpha }[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{KLMN}=(\frac{d_{1}.d_{2}}{d_{1}+d_{2} } )^2sin{2\alpha }[/tex] , но [tex]S_{ABCD}=\frac{d_{1}.d_{2}.sin{2\alpha }}{2 } [/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]S_{KLMN}=\frac{d_{1}.d_{2}}{(d_{1}+d_{2})^2 }.S[/tex]