OG||AB,h_c=?

[ганка симеонова]

Преди малко ми се наложи да реша тази задача и понеже ми хареса, пускам условието и

Нека G и O са съответно медицентърът и центърът на описаната около [tex]\Delta ABC [/tex] окръжност. Ако [tex]OG//AB [/tex], да се докаже, че
[tex]h_c^2=\frac{3}{4 }(a^2+b^2-c^2) [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

От котангенсова теорема за ▲ABC => [tex]ctg\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{4S}[/tex] Искаме да докажем [tex]h_{c}=\frac{3}{4}(a^2+b^2-c^2) = ctg\gamma.3S \Leftrightarrow S = \frac{h_{c}^2}{3ctg\gamma}=\frac{c.h_{c}}{2} \Leftrightarrow h_{c}=\frac{3cctg\gamma}{2} = \frac{c}{2sin\gamma}.3cos\gamma = 3Rcos\gamma[/tex] т.е искаме да докажем, че [tex]h_{c}=3Rcos\gamma[/tex] От основна задача знаем обаче, че [tex]CH=2Rcos\gamma[/tex] и е ясно, че O,G,H(H - ортоцентър) лежат на 1 права (в случая ||AB) (права на Ойлер).Тогава CH/HC1 = 2:1 => [tex]HC_{1} = Rcos\gamma[/tex] => [tex]CC_{1}=h_{c} = 2Rcos\gamma + Rcos\gamma = 3Rcos\gamma[/tex] което и искахме да докажем.
А може да действаме директно и с теоремата на Лайбниц за O и G, като ползваме OG:GH=1:2. После 1 Питагор и задачата заспива

[ганка симеонова]

Нотенкс, решението ти е супер