Мъчеща задача

[CnapKu]

Даден е ▲ ABC с ъгли [tex]\angle[/tex] BAC = 45° и [tex]\angle[/tex] ABC = 30°. Точката M е от вътрешността на триъгълника така, че [tex]\angle[/tex] MAB = [tex]\angle[/tex] MBA = 15°. Да се намери мярката на [tex]\angle[/tex] BMC в градуси.

[Реклама]

[Tinna]

АМ=ВМ=>М[tex]\in [/tex]S_АВ
Нека S_АВ[tex]\cap [/tex]ВС=Р
Използвай, че Р[tex]\in [/tex]S_АВ, а след това пресмятай ъгли и потърси еднакви триагълници.

[CnapKu]

Благодаря!
А мога ли по някакъв начин да използвам, че BM е ъглополовяща ? И може ли да се докаже, че ▲ AMC е равнобедрен ? Имам идеи как да я реша, но не мога да докажа

[r2d2]

Построяваме АТВ равностранен. Докажи, че зелените триъгълници са еднакви. Какво следва от това?

[M_Velinova]

Виж това допълнително построение:

[M_Velinova]

Вече има много идеи.

[CnapKu]

Следва, че AM = AC, задачата е решена и да си жив и здрав!
ЕДИТ: Велинова, реших задачата, но мерси все пак

[r2d2]

Eдин съвет: Опитай се да решиш зада4ата следвайки и трите допълнитерлни построения. Намери и друго(и) решения (с други доп. построения).

По-добре е да решиш една зада4а по 10 начина, отколкото 10 задачи по един и същ начин.

Ако си 7-ми клас, поствай в 7-ми клас. Ако не си, пробвай и с тригонометрия!

Няма да е лошо ако напишеш и решенията си във форума!

[CnapKu]

Решение:
[tex]\angle [/tex] BAC = 45° ; [tex]\angle[/tex] BAM = 15°
=> [tex]\angle[/tex] MAC = 30°
[tex]\angle[/tex] ABC = 30° ; [tex]\angle[/tex] ABM = 15°
=> [tex]\angle[/tex] MBC = 15°
От ▲ ABM;
[tex]\angle [/tex] BAM + [tex]\angle [/tex] ABM + [tex]\angle [/tex] AMB = 180°
15° + 15° + [tex]\angle [/tex] AMB = 180°
[tex]\angle [/tex]AMB = 180° - 30°
[tex]\angle [/tex] AMB = 150°
От ▲ABC;
[tex]\angle [/tex]ABC + [tex]\angle [/tex]BAC + [tex]\angle [/tex]ACB = 180°
30° + 45° + [tex]\angle [/tex]ACB = 180°
[tex]\angle [/tex]ACB = 180° - 75°
[tex]\angle [/tex]ACB = 105°

[tex]\angle [/tex]ABT = 60°
[tex]\angle [/tex]ABC = 30°
=>[tex]\angle [/tex]TBC = 30°
[tex]\angle [/tex]BAT = 60°
[tex]\angle [/tex]BAC = 45°
=>[tex]\angle [/tex]CAB = 15°
Разглеждаме ▲ABC и ▲BCT
1)AB = BT
2)[tex]\angle [/tex]ABC = [tex]\angle [/tex]CBT
3)BC - oбща
=>▲ABC [tex]\cong [/tex] ▲BCT
=>AC = TC (съответни страни в еднакви ▲-ци )
=>[tex]\angle [/tex]CTA = 15°
Разглеждаме ▲ABM и ▲ACT:
1)AB = AT
2)[tex]\angle [/tex]BAM = [tex]\angle [/tex]CAT
3)[tex]\angle [/tex]ABM = [tex]\angle [/tex]CTA
=> ▲ABM [tex]\cong [/tex] ▲ACT
=>AM = AC
От ▲AMC;
[tex]\angle [/tex]MAC = 30°
=> [tex]\angle [/tex]AMC = [tex]\angle [/tex] ACM = 75°
=>[tex]\angle [/tex]BCM = 30°
От ▲BMC;
[tex]\angle [/tex]BCM = 30°
[tex]\angle [/tex]MBC = 15°
=> [tex]\angle [/tex]BMC = 135°
Доста подробно решение

[Dian Atanasov<T1BLD>]

браво

[r2d2]

Вижте зад. 49 от изпита за 7-ми клас (два дни по-късно) със същото допълнително построение!