Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задачи - още 5


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Tue Jun 23, 2009 12:24 pm    Заглавие: Задачи - още 5

Задача 1. Намерете най-голямата стойност на [tex]f(x)=|\sqrt{1-x^2} - 2| + \sqrt{1-x^2} + x^3 - 3x^2[/tex].
Задача 2. Решете уравнението [tex]f(g(x)) + g(3 + f(x))=30[/tex], ако:

[tex]f(x)=0.5 x^4 - 4x + 5[/tex] и [tex]g(x)=\left{ \begin{array}{ll}25, & x\ge 4 \\ 2^x + \frac{9}{5-x}, & x<4 \end{array}\right[/tex]

Задача 3. Намерете всички стойности на параметъра a, при които множеството от решенията на [tex]x(x-2) \le (a+1)(|x-1| -1 )[/tex] съдържа всички членове на безкрайно намалямаща геометрична прогресия с първи член 1.7 и положителна разлика.

Задача 4. Функцията [tex]y=f(x)[/tex] е определена в [tex](-4;5)[/tex]. На рисунката е изобразена графиката на нейната производна. Намерете броя на допирателните към графиката на [tex]y=f(x)[/tex], които сключват ъгъл с големина 45° с положителната посока на абсцисната ос. Колко минимума има функцията в интервала и колко максимума?


Задача 5. Намерете всички стойности на x, за които неравенството [tex](2a-1)x^2 < (a+1)x + 3a[/tex] е изпълнено за всяка стойност на параметъра a в (1;2).

PS1. Пиша само алгебрични задачи, защото другите не мога да ги преведа. Laughing Ако някой има мераци, мога да му пратя файловете.
PS2. Мисля, че 4 е много поучителна. Защо няма такива в нашите учебници?
PS3. Давам ви руски задачи, защото ако пусна нещо, давано на изпит в България, 100% вече го има във форума. Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
merili
Начинаещ


Регистриран на: 02 Jan 2009
Мнения: 77
Местожителство: Стара Загора
Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Wed Jun 24, 2009 8:42 am    Заглавие: Re: Задачи - още 5

звездите_ми_говорят написа:
Задача 1. Намерете най-голямата стойност на [tex]f(x)=|\sqrt{1-x^2} - 2| + \sqrt{1-x^2} + x^3 - 3x^2[/tex].


НГС=f(0)=2.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Wed Jun 24, 2009 1:53 pm    Заглавие:

Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Wed Jun 24, 2009 8:31 pm    Заглавие: Re: Задачи - още 5

merili написа:

НГС=f(0)=2.

Това е напълно вярно, само да напишем и решението:
звездите_ми_говорят написа:
Задача 1. Намерете най-голямата стойност на [tex]f(x)=|\sqrt{1-x^2} - 2| + \sqrt{1-x^2} + x^3 - 3x^2[/tex].

DM: [tex]x\in [-1;1][/tex]
[tex]\sqrt{1-x^2} - 2 < 0[/tex] за всяко [tex] x\in DM[/tex]
=> [tex]f(x)=2-\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}+x^3-3x^2[/tex]
[tex]f(x)=x^3-3x^2+2[/tex]
[tex]f'(x)=3x^2-6x[/tex]
[tex]3x(x-2)=0[/tex]
[tex]x_1=0[/tex] ; [tex]x_2=2[/tex]
[tex]max f(x)_{x\in [-1;1]}=f(0)=2[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Jun 24, 2009 10:25 pm    Заглавие:

Ето какво получавам за 5-та задача:
[tex](2a-1)x^2-(a+1)x-3a<0,\; 2a-1\ge 0\\D=a^2+2a+1+24a^2-12a=(5a-1)^2\ge 0\\x_{1,2}=\frac{a+1\pm(5a-1)}{2(2a-1)}\\x_1=\frac{3a}{2a-1}, x_2=-1\\a\in (1\: ;\: 2)\Right x_1\in (2\: ;\: 3)\\x\in (x_2\: ;\: x_1]\Right \fbox{x\in (-1\: ;\: 2]}[/tex] Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Thu Jun 25, 2009 12:21 am    Заглавие:

Получаваш отговора, сигурно е вярно, но нещо не схващам как става обединяването накрая. Embarassed Надявам се, че е от късния час. Един вид, искаш решението да не зависи от стойностите на a(1;2)?
---------------------------
Едно друго решение:

[tex]\normal (2x^2 - x -3)a + (-x^2 -x)<0 \\ f(a)=(2x^2 - x -3)a + (-x^2 -x)[/tex]

f(a) е линейна и е достатъчно да проверим 2 стойности.

[tex]\normal \begin{tabular}{||}f(1) \le 0 \\ f(2) \le 0\end{tabular} \Rightarrow \begin{tabular}{||}x^2 - 2x - 3 \le 0 \\ 3x^2 - 3x - 6 \le 0 \end{tabular} \Rightarrow x\in[-1;2][/tex]

Но f(1) и f(2) не могат едновременно да са 0, защото така правата ще съвпада с абсцисната ос и няма да мине под нея. x≠-1

[tex]\normal x\in(-1;2][/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jun 25, 2009 1:01 pm    Заглавие:

ами то зависи.. просто като го разложа то става
[tex](2a-1)(x+1)(x-\frac{3a}{2a-1})<0[/tex]
И сега имаме, че единият корен е х=-1, а другият е положителен за a>1.
Тогава за да е изпълнено неравенството трябва х да е между -1 и положителния корен.
Сега в зависимост от това на колко точно е равно "а" вторият корен, [tex]\frac{3a}{2a-1}[/tex], се изменя между 2 и 3, и сега трябва при което и да е х да са покрити всички тези стойности, тоест х трябва да е по-малко от долната граница, в случая 2, но понеже граничната стойност 2 не се достига от а, то х=2 също става. Така окончателно х е между (-1 и 2] . Надявам се да ме разбереш. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Jun 26, 2009 9:32 am    Заглавие:

Задача 4. От самата графика е ясно, че функцията [tex]f(x)[/tex] има точно четири екстремума, защото производната пресича оста [tex]Ox[/tex] в точно четири точки. Тези екстремуми, изброявани от отрицателната към положителната посока на [tex]Ox[/tex], са съответно максимум, минимум, максимум, минимум.
Ъглополовящата на ъгъла между двете координатни оси [tex]Ox[/tex] и [tex]Oy[/tex] сключва ъгъл от [tex]45^\circ[/tex] с положителната посока на [tex]Ox[/tex]. Тогава всички възможни допирателни към графиката на функцията [tex]f(x)[/tex] са успоредни само на тази ъглополовяща [tex]l[/tex]. Ако точката на допиране е [tex]x_{0}[/tex], то [tex]f'(x_{0})=\tan\alpha[/tex], [tex]\alpha[/tex] е ъгълът между допирателната и положителната посока на оста [tex]Ox[/tex]. От [tex]\alpha=45^\circ[/tex] лесно намираме [tex]\tan\alpha=1[/tex], откъдето [tex]f'(x_{0})=1[/tex]. За да намерим броя на всичките допирателни, трябва да определим абсцисите на тези точки от кривата на [tex]f'(x)[/tex], за които [tex]f'(x)=1[/tex], тоест да намерим всички тези точки [tex]T[/tex] с ординати [tex]y_{0}=1[/tex]. През точката с координати [tex](0;1)[/tex] прекарваме права, успоредна на [tex]Ox[/tex], която пресича графиката на [tex]f'(x)[/tex] в точно три точки. Тогава и исканите точки са три. От картинката се вижда, че точката [tex]M(x_{0}';1)[/tex] има отрицателна абсциса и лежи във втори квадрант, а другите две точки [tex]L(x_{0}'';1)[/tex] и [tex]N(x_{0}''';1)[/tex] са с положителни абсциси и са разположени в първи квадрант.
Отговор: три допирателни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Mon Jun 29, 2009 11:00 pm    Заглавие:

Задача 3. Иска се решението да съдържа интервала [tex]\normal (0; \, 1.7][/tex]

[tex]I. \; x \ge 1[/tex]

[tex]\normal x^2 - (3 + a)x + 2a + 2\le 0[/tex]
[tex]\normal x\in[a+1; \, 2][/tex]

[tex]\normal a+1 \le 1 \Leftrightarrow a \le 0[/tex]

[tex]II. \; x \le 1[/tex]

[tex]\normal x^2 + (a-1)x \le 0[/tex]
[tex]\normal x\in[0; \, 1-a][/tex]

[tex]\normal 1-a \ge 1 \Leftrightarrow a \le 0[/tex]

[tex]I., \; II. \normal \, \Rightarrow \, x\in[0;2] \, \Leftrightarrow \, a\in(-\infty; 0][/tex]

И сега се пита: Къде бъркам? Отговорът е [tex]\normal (-\infty ; \, 0.7 ].[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nasko_ol
Начинаещ


Регистриран на: 14 Jun 2009
Мнения: 16

Репутация: -0.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Tue Jun 30, 2009 8:04 am    Заглавие: Re: Задачи - още 5

Is it black or white? написа:
merili написа:

НГС=f(0)=2.

Това е напълно вярно, само да напишем и решението:
звездите_ми_говорят написа:
Задача 1. Намерете най-голямата стойност на [tex]f(x)=|\sqrt{1-x^2} - 2| + \sqrt{1-x^2} + x^3 - 3x^2[/tex].

DM: [tex]x\in [-1;1][/tex]
[tex]\sqrt{1-x^2} - 2 < 0[/tex] за всяко [tex] x\in DM[/tex]
=> [tex]f(x)=2-\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}+x^3-3x^2[/tex]
[tex]f(x)=x^3-3x^2+2[/tex]
[tex]f'(x)=3x^2-6x[/tex]
[tex]3x(x-2)=0[/tex]
[tex]x_1=0[/tex] ; [tex]x_2=2[/tex]
[tex]max f(x)_{x\in [-1;1]}=f(0)=2[/tex]


its orange and white Wink ориентировач ли си Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.