Задачи - 5.

[_sssss]

Задача 1. Решете уравнението [tex]25x^2 -20x +6=(\ \sqrt{2} - \cos{\frac{5\pi x}{4}} \)(\ \sqrt{2} + \cos{\frac{5\pi x}{4}} \)[/tex]

Задача 2. Четната функцията [tex]y=f(x)[/tex] е дефинирана в [tex]\normal (-\infty ;+\infty)[/tex] и е периодична с период 6. В [tex][0;3] \rightarrow f(x)=2 + 2x - x^2[/tex]. Определете броя на нулите в [tex][-5;4][/tex].

Задача 3. Известно е, че уравнението [tex](2p+3)x^2 + (p+3)x +1=0[/tex] има поне един корен. Определете стойностите на параметъра, при които броят на различните корени на това уравнение е равен на броя на различните корени на уравнението [tex]\frac{2x+1}{21-p}=\frac{1}{\sqrt{x-3}+3}[/tex]

Задача 4. Определете нулите на функцията [tex]y=ln^2 (x^2 -3x -9) + \sqrt{x^3 -8x -8}[/tex]

Задача 5. Намерете най-голямата стойност на a, за която уравнението [tex]x^3 + 5x^2 + ax + b = 0[/tex] с цели коефициенти, има 3 корена, един от които е равен на -2.

[Реклама]

[NoThanks]

зад.1 Имаме [tex]25x^2-20x+4=-\cos^2\frac{5\pi x}{4}[/tex]
Отляво имаме НМС = 0. Отдясно НГС = 0 => решение само за x=2/5

[NoThanks]

зад.2 разгл. [tex]f(x)=-x^2+2x+2[/tex] в [0;3]. Имаме [tex]x_{0}=1[/tex] От друга страна f(0)=2>0 ; f(1)=3>0 => няма корени в (0;1). f(3)=-1<0 => 1 корен в (1;3). f(4)=f(-2)=f(2)=2>0 и от друга страна ст-тите в интервала (3;4) са все едно тези от -3;-2 ,които пък са все едно тези от (2;3), т.е ф-ята е монотонна в този интервал => още 1 корен в (3;4). Интервалът [4;5] е все едно [-2;-1], които е все едно [1;2] Там ф-ята пак е монотонна и както установихме няма корени. Т.е имаме общо 2 корена в [0;4] и дори в [0;5]. тъй като ф-ята е четна, то f(x)=0 има още толкова корени и в [-5;0]. т.е в [-5;4] има общо 4 корена.

[NoThanks]

Зад.3 ДС: [tex]x\ge 3[/tex] Имаме: [tex]\frac{2x+1}{21-p}=\frac{1}{\sqrt{x-3}+3}\Leftrightarrow (2x+1)(\sqrt{x-3}+3)=21-p[/tex]. Отляво имаме растяща функция и ДС [tex]x\ge 3[/tex] => НМС е за x=3 и тази НМС e 21. Тогава при [tex]p \ge 0[/tex] няма решения(всъщност при p>0 и за p=0 проверяваме). Тогава p<0. И тъй като отляво имамe растяща ф-я, а отдясно константа, то тук можем да имаме най-много 1 решение и то за p<0. Тогава квадратното ни уравнение може да има 1 решение само за p=-1. Остава да проверим дали p=-1 е решение на задачата. Имаме [tex](2x+1)(\sqrt{x-3}+3)=22 \Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{x-3}=19-6x => 19-6x \ge 0 => x \le \frac{19}{6}[/tex] Тогава това уравнение трябва да има корен в [tex]x \in [3;3\frac{1}{6}][/tex] и тъй като ф-ята ни е растяща, остава да проверим f(3)<0 f(19/6)>0 Тогава при p=-1 и 2те уравнения имат по 1 решение => p=-1.

[NoThanks]

зад.4 [tex]y=ln^2 (x^2 -3x -9) + \sqrt{x^3 -8x -8}[/tex]
И 2те събираеми са >=0 => решение може да има само, когато [tex]ln(x^2-3x-9) = 0=ln1 => x^2-3x-10=0 => x=5;x=-2[/tex] Заместваме в другия израз, който също трябва да е =0 => не са решения => Н.Р.

[NoThanks]

Задача 5.[tex]x^3 + 5x^2 + ax + b = 0[/tex]
Щом има 3 корена, един от които е -2, то [tex]f(-2) =0 => b=2a-12[/tex]. Нека другите 2 корена са [tex]\alpha \; \beta[/tex] => многочленът може да се представи в следния вид [tex](x+2)(x-\alpha)(x-\beta)=0 \Leftrightarrow x^3 +x^2(-\alpha - \beta +2) + x(\alpha\beta-2\beta - 2\alpha)+2\alpha\beta =0 \Leftrightarrow x^3+5x^2+ab+b=0[/tex] От тук следва [tex]\alpha + \beta = -3 \; \alpha.\beta = \frac{b}{2}[/tex] Тогава нека [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са корени на у-ето [tex]kx^2+px+q=0[/tex] От ф-лите на Виет имаме: [tex]-3 =-\frac{p}{k} \; \frac{b}{2}=\frac{q}{k}[/tex] => уравнението е [tex]x^2+3x+a-6=0[/tex] (след заместване в [tex]\frac{b}{2}=a-6[/tex]). Тогава многочленът ни може да се разложи като [tex](x+2)(x^2+3x+a-6)=0[/tex] и тогава искаме [tex]x^2+3x+a-6 =0[/tex] да има 2 реш =>[tex]9-4a+24 >0 => a<33/4[/tex] и а е цяло и максимално => a =8.
п.п всъщност като се замисля това спокойно може да стане и с Хорнер, не знам що не се сетих за него 1во

[_sssss]

Брей, много си бърз, браво!

3. Уравнението има 1 р.к и когато е линейно. [tex]p=-\frac{3}{2}[/tex] също е решение.
4. [tex]-8 + 16 -8 = 0[/tex]. Значи -2 е решение.

А на 5, всичко си е точно. Даден е отговор 7, но не съм превела коректно условието на задачата - става въпрос за 3 различни корена. Тя, както и 4 са от руска матура. Другите вече не помня откъде ги изкопах. Мисля да пусна още 1 тема, но остави време и на другите.

[_sssss]

Ще пусна авторовото решение на задача 5, защото разлагането е без Виет и Хорнер.

[tex]x^3 + 5x^2 + ax + b = x^3 + 2x^2 + 3x^2 + ax + (2a-12) = \\ =x^2(x + 2) + 3x(x + 2) - 6x + ax + (2a - 12) = \\ = x^2(x + 2) + 3x(x + 2) + (a - 6)(x + 2) - 2(a - 6) + (2a - 12) = \\ = (x^2 + 3x + (a - 6))(x + 2)[/tex]

[NoThanks]

damn, това за p=-3/2 уж го проверих и ми излезе, че не става, ама тва май беше през времето, когато си мислех, че трябват да имат общ корен А тва за -2 ноу къмент. Имам чувството, че ако не сбъркам някви подобни простотии просто няма да съм аз.